Определение характеристик плоской волны, возбуждаемой поверхностным магнитным током

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

Исследуем электромагнитное поле волны, возбуждённой листом магнитного тока (см.п.1.5). Примем для простоты, что вектор магнитного тока направлен вдоль оси X, амплитуда его во всех точках плоскости XOY постоянна, а фаза меняется по линейному закону в направлении, совпадающем с направлением вектора тока, то есть в выражении для тока (5.1) нужно принять . Тогда комплексная амплитуда поверхностного магнитного тока запишется в следующем виде:

(1.6.1)

Электромагнитное поле, созданное током (1.6.1), в соответствии с методикой, изложенной в п.1.5 (см.выражения 1.5.7), будет иметь следующие составляющие:

(1.6.2)

где . (1.6.3)

Из формулы (1.6.3) следует, что в зависимости от величины отношения коэффициент может либо иметь действительное значение (при ), либо быть мнимой величиной (при ). В зависимости от этого характер возбуждаемой волны и её свойства будут различными.

Рассмотрим отдельно случаи и .

1.6.1 Примем, что и может принимать значения в интервале .

В этом случае - действительная положительная величина (см. формулу (1.3.14) и пояснения к ней).

Согласно (1.6.2) электромагнитное поле будет иметь следующие компоненты:

(1.6.4)

Каждая из составляющих в (1.6.4) имеет характер бегущей волны. Направление распространения волны указывается волновым вектором () и образует с осями прямоугольной системы координат углы , и .

Задание 1.6.1

Определить углы , и ; построить зависимости при изменении в интервале .

Задание 1.6.2

Доказать, что уравнения (1.6.4) описывают плоскую волну. Для этого, в соответствии с материалом, изложенным в параграфе 1.2, записать уравнение волновой поверхности и проанализировать его.

Задание 1.6.3

Доказать, что плоская волна, описываемая соотношениями (1.6.4), является однородной. Для этого, в соответствии с параграфом 1.2, записать уравнение поверхности равных амплитуд и проанализировать его.

Скорость движения фронта волны вдоль направления распространения - фазовая скорость - в случае определяется выражением:

(1.6.5)

Задание 1.6.4

Определить зависимость фазовой скорости (1.6.5) от направления распространения плоской однородной волны при изменении в интервале . Построить график зависимости . Сделать вывод о соотношении величин фазовой скорости и скорости света в среде с заданными параметрами , .

Задание 1.6.5

Для плоской волны, описываемой соотношениями (1.6.4), определить взаимную ориентацию векторов и в пространстве, а также ориентацию их относительно направления распространения волны. Для этого необходимо вычислить скалярные произведения:

(1.6.6)

Определим отношение комплексных амплитуд поперечных относительно направления распространения волны составляющих электрического и магнитного полей.

В рассматриваемом случае поперечные составляющие электрического и магнитного полей имеют следующий вид:

(1.6.7)

Задание 1.6.6

Определить отношение поперечных составляющих электрического и магнитного полей плоской однородной волны, описываемой выражениями (1.6.4). Построить график при . Сделать вывод о зависимости от направления движения плоской волны.

Задание 1.6.7

Определить направление переноса энергии плоской волны в пространстве, воспользовавшись выражением для вектора Пойнтинга:

, (1.6.8)

где знак * над вектором означает комплексное сопряжение. В выражении (1.6.8) поля и описываются соотношениями (1.6.4). Построить график зависимости при изменении в интервале . Сделать выводы.

Определим, как поляризовано магнитное поле плоской однородной волны, имеющей составляющие магнитного поля и . Из соотношений (1.6.4) следует, что составляющие и синфазны во времени, так как компоненты и вектора - действительные величины. Суммарный вектор напряжённости магнитного поля, полученный в результате сложения синфазных векторов и , будет иметь следующий вид:

(1.6.9)

В выражении (1.6.9) принято, что начальные фазы и составляющих вектора равны нулю. Действительная часть этого комплексного вектора

(1.6.10)

Модуль вектора , описываемого выражением (1.6.10), равен:

(1.6.11)

Определим, как меняются величина и направление вектора в каждой точке пространства за период колебаний. Обозначим через угол, образованный вектором с осью X. Тогда из формулы (1.6.10) следует, что

, (1.6.12)

откуда можно сделать вывод, что положение вектора относительно оси X не зависит от координат и не меняется во времени. Анализ выражения (1.6.11) для модуля вектора показывает, что в фиксированной точке пространства вектор с течением времени остаётся ориентированным параллельно прямой линии, составляющей с осью X угол (рис.1.5). Таким образом, мы приходим к выводу, что в рассматриваемом случае волна линейно поляризована.

1.6.2 Рассмотрим случай, когда (при ). Коэффициент

(1.6.13)

является чисто мнимой величиной. О выборе знака перед мнимой единицей было сказано ранее (см. формулу (1.3.15) и пояснения к ней). Тогда волновой вектор становится комплексным и может быть представлен в виде действительной и мнимой частей:

(1.6.14)

Подставляя выражение (1.6.14) в соотношения (1.6.4), определим компоненты электрического и магнитного поля при :

( 1.6.15)

Наличие в соотношениях (1.6.15) множителя бегущей волны указывает на то, что волна, имеющая составляющие (1.6.15), распространяется вдоль оси X, то есть вдоль листа магнитного тока, что совпадает с направлением вектора .

Волна, описываемая соотношениями (1.6.15), является плоской неоднородной волной и относится к классу поверхностных, медленных волн (см. параграф 1.1). Чтобы убедиться в этом, необходимо выполнить задания 1.6.8 и 1.6.9, учитывая общие соображения, изложенные в параграфе 1.2.

Задание 1.6.8

Получить уравнение волновой поверхности для волны, описываемой соотношениями (1.6.15), и показать, что оно является уравнением плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Задание 1.6.9

Получить из соотношений (1.6.15) уравнение поверхности равных амплитуд и показать, что оно является уравнением плоскости. Определить взаимное расположение плоскости равных фаз и плоскости равных амплитуд.

Фазовая скорость волны, определяемая как скорость движения волновой поверхности вдоль направления распространения волны (в данном случае, вдоль оси X), равна:

(1.6.16)

Задание 1.6.10

Определить зависимость фазовой скорости плоской неоднородной волны от (). Построить график зависимости при изменении в интервале . Сделать вывод о соотношении величин фазовой скорости волны и скорости света в среде с заданными параметрами , .

Задание 1.6.11

Для плоской волны, описываемой соотношениями (1.6.15), определить взаимную ориентацию векторов и в пространстве, а также ориентацию их относительно направления распространения волны. Для этого вычислить следующие скалярные произведения:

; (1.6.17)

Задание 1.6.12

Воспользовавшись результатами, полученными при выполнении задания 1.6.11, определить поперечные составляющие векторов электрического и магнитного полей и получить выражение для отношения поперечных составляющих . Построить зависимость при изменении в интервале .

Выясним, переносит ли плоская неоднородная волна энергию и в каком направлении. Определим для этого вектор Пойнтинга. Подставим в выражение (1.6.8) составляющие полей и из (1.6.15) и вычислим векторное произведение. Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае вектор Пойнтинга является комплексной величиной:

(1.6.18)

Задание 1.6.13

Получить выражения для действительной и мнимой частей вектора Пойнтинга (1.6.18). Показать, что действительная часть равна среднему за период колебаний значению вектора Пойнтинга, характеризует перенос энергии волны вдоль плоскости XOY и совпадает с направлением распространения волны. Построить график зависимости при изменении в диапазоне .

Задание 1.6.14

Используя полученное из задания 1.6.13 выражение для вектора Пойнтинга, показать, что среднее значение за период колебаний мнимой части равно нулю. Сделать вывод о том, возможен ли перенос энергии этой составляющей. Построить график зависимости . Определить зависимость от .

Определим поляризацию магнитного поля плоской неоднородной волны. Вектор напряжённости магнитного поля согласно (1.6.15) имеет две составляющие, сдвинутые по фазе во времени друг относительно друга на . Представим вектор в следующем виде:

, (1.6.19)

где ; . Начальные фазы и составляющих и принять равными нулю.

Выделим действительную часть комплексного вектора :

(1.6.20)

Модуль вектора в (1.6.20) равен

(1.6.21)

Определим, как меняются величина и направление вектора в каждой точке пространства за период колебаний. Обозначим через угол между вектором и осью Z. Тогда из выражения (1.6.20) следует, что

(1.6.22)

Из анализа выражений (1.6.21) и (1.6.22) следует, что величина вектора и направление его меняются с течением времени. При постоянном значении координаты X вектор вращается с угловой скоростью .

Задание 1.6.15

Показать, что при фиксированном значении координаты X, например, X=0, конец вектора в соответствии с выражением (1.6.21) за период колебаний описывает эллипс. Определить оси эллипса. Построить поляризационный эллипс. Сделать вывод о том, как в рассматриваемом случае поляризовано поле плоской неоднородной волны.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов