Определение характеристик плоской волны, возбуждаемой поверхностным электрическим током

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 8Следующая ⇒

Решив задачу по нахождению электромагнитного поля, возбуждённого листом электрического тока, определим характерные свойства и закономерности этого поля с целью получения наиболее полного представления о плоских волнах.

Рассмотрим для простоты случай, когда вектор тока совпадает по направлению с осью X и фаза его вдоль оси Y не меняется (). Тогда выражение (1.3.1) для комплексной амплитуды поверхностного электрического тока примет следующий вид:

(1.4.1)

По методике, изложенной в п.3, определим компоненты электромагнитного поля волны, возбуждаемой током (1.4.1). Их легко получить из выражений (1.3.19) и (1.3.23), подставив в эти выражения :

(1.4.2)

где (1.4.3)

В соответствии с формулой (1.4.3) может быть действительной величиной, если , или иметь мнимое значение (при ). В зависимости от этого характер возбуждаемой волны, направление переноса энергии в пространстве и другие параметры волны будут существенно различаться.

Пусть и может принимать значения в интервале (при k=const).

Примем, что - действительная положительная величина (см. формулу (1.3.14) и пояснения к ней). В этом случае согласно (1.4.2) электромагнитное поле волны имеет составляющие:

(1.4.4)

Каждая из составляющих поля (1.4.4) имеет характер бегущей волны, распространяющейся в направлении вектора :

().

Задание 1.4.1

Определить углы , и , которые вектор образует с осями X,Y и Z. Построить зависимости при изменении величины в интервале .

Задание 1.4.2

Доказать, что уравнения (1.4.4) описывают плоскую волну. Для этого, воспользовавшись изложенным в параграфе 1.2 материалом, записать уравнение волновой поверхности и проанализировать его.

Задание 1.4.3

Доказать, что плоская волна, описываемая уравнениями (1.4.4), является однородной. Для этого в соответствии с параграфом 1.2 записать уравнение поверхности равных амплитуд и исследовать его.

Скорость перемещения плоскости фронта волны вдоль направления распространения называется фазовой скоростью и определяется выражением:

(1.4.5)

Задание 1.4.4

Определить зависимость фазовой скорости от направления распространения плоской однородной волны при изменении в интервале . Построить график зависимости . Сделать вывод о соотношении величин фазовой скорости и скорости света в среде с заданными параметрами .

Задание 1.4.5

Для плоской волны, описываемой соотношениями (1.4.4), определить взаимную ориентацию векторов и в пространстве, а также ориентацию их относительно направления распространения волны. Для этого необходимо вычислить скалярные произведения:

(), (), (). (1.4.6)

Определим отношение комплексных амплитуд поперечных составляющих электрического и магнитного полей плоской волны. В рассматриваемом случае поперечные составляющие электрического и магнитного полей имеют следующий вид:

(1.4.7)

Задание 1.4.6

Воспользовавшись соотношениями (1.4.4) и (1.4.7), получить выражения для отношения . Построить график зависимости при . Сделать вывод о зависимости от направления движения плоской волны.

Задание 1.4.7

Определить направление переноса энергии плоской волны в пространстве. Эту задачу можно решить, воспользовавшись выражением для вектора Пойнтинга:

, (1.4.8)

где знак над вектором означает комплексное сопряжение. В выражении (1.4.8) необходимо раскрыть векторное произведение векторов и , которые описываются соотношениями (1.4.4). Построить график зависимости при изменении в интервале . Сделать выводы.

Определим поляризацию плоской волны, вектор которой имеет составляющие и . Из соотношений (1.4.4) следует, что и синфазны во времени, поскольку компоненты и вектора - действительные величины. Комплексный вектор напряжённости электрического поля имеет следующий вид:

(1.4.9)

Здесь принято, что начальные фазы и составляющих вектора равны нулю. Действительная часть этого вектора:

. (1.4.10)

Модуль вектора , описываемого выражением (1.4.10), равен:

(1.4.11)

Определим, как меняется величина и направление вектора в каждой точке пространства за период колебаний. Обозначим через угол, образованный вектором с осью X. Тогда из формулы (1.4.10) следует, что

(1.4.12)

или .

Как следует из соотношения (1.4.12), положение вектора относительно оси X не зависит от координат и не меняется со временем. Анализ выражения (1.4.11) показывает, что в фиксированной точке пространства вектор с течением времени остаётся ориентированным параллельно прямой линии, составляющей с осью X угол (рис.1.3). Согласно определению (см.п.1.1), такая волна является линейно поляризованной.

1.4.2 В случае, когда (или ), величина

(1.4.13)

- чисто мнимая. Здесь . О выборе знака перед мнимой единицей было сказано ранее (см. формулу (1.3.15) и пояснения к ней). В этом случае волновой вектор является комплексным и имеет действительную и мнимую части:

(1.4.14)

С учетом (1.4.14) и (1.2.15) составляющие векторов поля (1.4.4) примут следующий вид:

(1.4.15)

Уравнения (1.4.15) описывают волну, направление распространения которой совпадает с направлением вектора .

Волна, имеющая составляющие (1.4.15), является плоской неоднородной волной и относится к классу поверхностных, медленных волн (см. параграф 1.1). Чтобы убедиться в этом, необходимо выполнить задания 1.4.8 и 1.4.9., учитывая общие соображения, изложенные в параграфе 1.2.

Задание 1.4.8

Получить уравнение волновой поверхности для волны, описываемой соотношениями (1.4.15), и показать, что оно является уравнением плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Показать, что это направление всегда параллельно оси X и не зависит от .

Задание 1.4.9

Получить из соотношений (1.4.15) уравнение поверхности равных амплитуд и показать, что оно является уравнением плоскости. Определить взаимное расположение плоскости равных фаз и плоскости равных амплитуд.

Фазовая скорость волны, как скорость движения волновой поверхности вдоль направления распространения волны (в данном случае, вдоль оси X), равна:

(1.4.16)

Задание 1.4.10

Определить зависимость фазовой скорости плоской неоднородной волны от . Построить график зависимости при изменении в интервале . Сделать вывод о соотношении фазовой скорости волны и скорости света в среде с заданными параметрами .

Задание 1.4.11

Для плоской волны, описываемой соотношениями (1.4.15), определить взаимную ориентацию векторов и в пространстве, а также ориентацию их относительно направления распространения волны. Для этого вычислить следующие скалярные произведения:

; ; . (1.4.17)

Задание 1.4.12

Воспользовавшись результатами выполнения задания 1.4.11, определить поперечные составляющие векторов электрического и магнитного полей и получить выражение для отношения . Построить зависимость при изменении в интервале .

Чтобы выяснить, переносит ли плоская неоднородная волна энергию и в каком направлении, необходимо определить вектор Пойнтинга.

Для этого подставим в (1.4.9) выражения для составляющих полей и из (1.4.15) и вычислим векторное произведение. Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае вектор Пойнтинга является комплексной величиной:

(1.4.18)

Задание 1.4.13

Получить выражения для действительной и мнимой частей вектора Пойнтинга. Показать, что действительная часть равна среднему за период колебаний значению вектора Пойнтинга, характеризует перенос энергии волны вдоль плоскости XOY и совпадает с направлением распространения волны. Построить график зависимости при изменении в диапазоне .

Задание 1.4.14

Воспользовавшись полученным в задании 1.4.13 выражением для мнимой части вектора Пойнтинга, показать, что среднее значение её за период колебаний равно нулю. Сделать вывод о том, возможен ли перенос энергии этой составляющей. Определить закон изменения вдоль оси Z. Построить график зависимости .

Определим поляризацию плоской неоднородной волны, вектор напряжённости электрического поля которой согласно выражениям (1.4.15) имеет две составляющие, сдвинутые во времени по фазе друг относительно друга на .

Представим вектор в следующем виде:

, (1.4.19)

где ,

.

Начальные фазы и составляющих и приняты нулевыми.

Выделим действительную часть комплексного вектора :

(1.4.20)

Модуль вектора равен:

(1.4.21)

Для выявления характера поведения вектора в каждой фиксированной точке пространства за период колебаний определим угол между вектором и осью Z:

(1.4.22)

Из полученных выражений (1.4.21) и (1.4.22) следует, что величина вектора и направление его меняется с течением времени. При постоянном значении координаты X вектор вращается с угловой скоростью .

Задание 1.4.15

Показать, что при фиксированном значении координаты X, например, X=0, конец вектора в соответствии с выражением (1.4.21), за период колебаний описывает эллипс. Определить оси эллипса. Построить поляризационный эллипс. Сделать вывод о том, как в рассматриваемом случае поляризовано поле плоской неоднородной волны.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности