Самарский государственный аэрокосмический

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 7Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени акад. С.П.КОРОЛЕВА

А.Ф.Тараскин

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

и

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

Учебное пособие

САМАРА 1997

УДК 519.6

Статистическое моделирование и метод Монте-Карло:

Учебное пособие/ А.Ф.Тараскин; Самар.гос.аэрокосм.ун-т.

Самара, 1997. 62 с.

ISBN 5-7883-0007-X

Изложены методы моделирования случайных величин, векторов и процессов.

Предназначено для студентов специальности "Прикладная математика" при выполнении курсовых и расчетно-графических работ по курсам "Теория вероятностей и математическая статистика" и "Случайные процессы".

Подготовлено на кафедре "Техническая кибернетика".

Библиогр.: 10 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П.Королева

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф. А.И.Жданов

канд. физ.-мат. наук, доц. С.Я.Шатских

ISBN 5-7883-0007-X ÓТараскин А.Ф., 1997

ÓСамарский государственный

аэрокосмический университет, 1997

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ...................................................................................... 4

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН..................... 6

1. Моделирование дискретных случайных величин................ 6

2. Моделирование непрерывных случайных величин............ 10

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ................. 32

1. Моделирование вектора с независимыми координатами... 32

2. Универсальный метод моделирования

непрерывных случайных векторов....................................... 34

3. Метод преобразований......................................................... 37

4. Моделирование гауссова вектора......................................... 39

5. Моделирование дискретных случайных векторов............... 40

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ............. 41

1. Общие замечания................................................................... 41

2. Квазислучайные процессы.................................................... 42

3. Приближенное моделирование случайного процесса......... 44

4. Процессы с независимыми значениями................................ 46

5. Процессы с независимыми приращениями.......................... 47

6. Марковские процессы........................................................... 49

7. Стационарные процессы....................................................... 54

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................. 61

ВВЕДЕНИЕ

Метод статистического моделирования, известный в литературе также под названием метода Монте-Карло, дает возможность конструировать для ряда важных задач алгоритмы, хорошо приспособленные к реализации на компьютерах. Возникновение метода Монте-Карло связывают обычно с именами Дж.Неймана, С.Улама, Н.Метрополиса, а также Г.Кана и Э.Ферми; все они в 40-х годах работали в Лос-Аламосе (США) над созданием первой атомной бомбы. Название "Монте-Карло" произошло от города Монте-Карло (княжество Монако), известного своими казино, ибо одним из простейших приборов для генерирования случайных чисел служит рулетка.

Хотя общепринятого определения методов Монте-Карло не существует, тем не менее под этим названием подразумевают численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и процессов. Основная идея метода -- связь между вероятностными характеристиками различных случайных процессов (вероятностями случайных событий или математическими ожиданиями случайных величин) и величинами, являющимися решениями задач математического анализа (значениями интегралов, решениями дифференциальных уравнений и т.п.). Оказывается, что вместо вычисления ряда сложных аналитических выражений можно "экспериментально" определить значения соответствующих вероятностей и математических ожиданий. Этот метод получил широкое развитие в связи с новыми возможностями, которые дают быстродействующие электронные вычислительные машины.

Продемонстрируем суть метода на простейшей задаче. Пусть требуется приближенно определить математическое ожидание M X с.в. X. Пусть x₁, x₂,..., x_n -- значения величины X, полученные при n независимых испытаниях (измерениях) с.в. X. Тогда величина

, (1)

где X_k, k = 1,..., n -- независимые с.в. с общим распределением, совпадающим с распределением с.в. X, в соответствии с центральной предельной теоремой распределена по закону, близкому к гауссовому с параметрами

,

Поэтому имеет место оценка (с надежностью 0,997)

. (2)

Таким образом, в этом случае "время" связано обратной зависимостью с достигаемой точностью e

Общие замечания

Моделирование случайного процесса (с.п.) { X_t, t Î T } означает построения алгоритма, позволяющего получать его реализации { x _t, t Î T }. В связи с приближенными вычислениями по методу Монте-Карло на ЭВМ могут быть использованы лишь реализации с.п. для некоторой последовательности значений аргумента, например, t ₁,..., t _n Î T.

Если случайный процесс изучается в рамках определения "в широком смысле", то это предполагает возможность задания его конечномерных распределений: для любого n ³ 1, любых t ₁,..., t _n Î T известна функция распределения F _{t_1...t_n}(x ₁,..., x _n) вектора значений процесса . Задача формирования реализаций с.п. в этом случае ничем не отличается от задачи получения возможных значений n-мерного случайного вектора, рассмотренной в главе 2.

Следует отметить два препятствия на пути осуществления намеченного выше подхода к моделированию с.п. Первое состоит в том, что далеко не всегда бывают заданы любые конечномерные распределения с.п. Второе $-$ в том, что даже если любые конечномерные распределения заданы, для больших n формирование реализаций случайного вектора становится громоздким и неудобным для использования на электронных цифровых вычислительных машинах.

Эти обстоятельства заставляют использовать для моделирования либо специфические свойства процессов, относящихся к тем или иным классам случайных процессов, либо возможность представления данного процесса через более простые случайные элементы.

Квазислучайные процессы

Случайный процесс { X_t, t Î T } называется квазислучайным (иногда квазидетерминированным), если он представляется совокупностью функций времени заданного вида: X_t = S (t, Y), где Y = (Y ₁,..., Y _m) - векторный случайный параметр с множеством возможных значений? Ì R ^m. Каждой точке
y Î? соответствует одна реализация с.п.:

x_t = S (t; y), t Î T. (1)

Простейшим примером квазислучайного процесса является гармонический процесс со случайными амплитудой a, частотой w и фазой j:

X_t = S (t; a, w, j) = a cos (wt + j), (2)

причем векторный параметр Y = (a, w, j) принимает значения в области? трехмерного евклидова пространства, определяемой неравенствами: a > 0,
w > 0, . Очевидно, что процесс (2), как процесс в широком смысле, задан, если задано распределение вероятностей вектора (a, w, j). При этом реализация гармонического процесса становится вполне определенной в соответствии с формулой (2) для всех t ³ 0, как только случайный вектор Y принимает одно из своих возможных значений, например,
y = (a ₀, w ₀, j ₀). Таким образом, для моделирования гармонического процесса достаточно уметь моделировать случайный векторный параметр
Y = (a, w, j).

В общем случае моделирование квазислучайного процесса сводится к

моделированию определяющего его случайного вектора Y. Получив одним из описанных в предыдущей главе методов значение этого вектора
y = (y₁,..., y_m), по формуле (1) будем иметь реализацию квазислучайного процесса.

2.1. Колебательные процессы со случайными параметрами. Во многих вопросах с.п. аппроксимируются суммой гармонических процессов с заданными частотами и случайными амплитудами и фазами. Иными словами, рассматриваются процессы вида

, , (3)

где w_k - заданные числа, а величины a_k и j_k случайны. Теоретико-вероят- ностная структура этого процесса (как процесса в широком смысле) полностью определяется совместным распределением случайных величин
a_k, j_k, k = 1,2,..., m. Процесс (3) представляет собой сумму m гармонических колебаний с амплитудами | a_k | и частотами w_k k = 1,..., m, образующими в совокупности спектр частот.

Иногда целесообразно рассматривать комплекснозначные с.п. колебательного характера

, (4)

где комплексные амплитуды g_k являются случайными величинами:

g_k = a_k + i b _k,

где a_k, b_k, k = 1,..., m - вещественные случайные величины. Ясно, что процесс Z_t можно "расщепить" на вещественную и мнимую части, которые представляют собой колебательные процессы вида (3).

Таким образом, колебательные процессы вида (3) или (4) представляют собой квазислучайные процессы, вполне определяемые 2 m -мерным случайным параметром. Их моделирование, как отмечено выше, сводится к моделированию случайного вектора (a ₁,..., a_m, j ₁,..., j_m) в случае вещественного процесса (3) и вектора $(a ₁,..., a_m, b ₁,..., b_m,) в случае комплексного процесса (4).

Напомним, что колебательный процесс (4) является стационарным в широком смысле, если случайные амплитуды g_k, k = 1,..., m обладают моментами до второго порядка включительно, причем M g_k = 0, M = 0 для всех k, j = 1,..., m, k ¹ j.

2.2. Линейная модель квазислучайного процесса. Еще один пример квазислучайного процесса дает так называемая линейная модель

, t Î T (5)

где Y = (Y ₁,..., Y _m) - векторный случайный параметр, линейно входящий в правую часть (5), y_k (t), k = 1,..., m - заданные функции. В ряде случаев изучаемый с.п. целесообразно аппроксимировать линейной моделью (5). Линейная модель может представлять собой частную сумму ряда в разложении некоторого случайного процесса.

Для моделирования процесса (5) достаточно смоделировать случайный векторный параметр Y.

Марковские процессы

6.1. Общие марковские процессы. Рассмотрим случайный процесс { X _t, t Î T } со значениями в измеримом "фазовом" пространстве (E, e). Его называют марковским, если при любом фиксированном X _s = x значения процесса X _t, t > s не зависят от X _u, u < s. Условную вероятность события { X _t Î A Ì E} при условии X _s = x называют переходной функцией (вероятностью) марковского процесса и обозначают P (s, x, t, A). Переходная функция для любых s < u < t удовлетворяет уравнению

(24)

называемому уравнением Чепмена-Колмогорова. Оно выражает важное свойство марковского процесса — отсутствие последействия: если известно состояние системы в некоторый момент времени u, то вероятности перехода из этого состояния не зависят от движения системы в моменты времени, предшествующие u. Если существует минимальный элемент t ₀ множества T, то вероятности P ₀(A) = P { Î A } для всех A Î e образуют так называемое начальное распределение процесса { X _t, t Î T }. Начальное распределение и переходная функция марковского процесса вполне определяют его как процесс в широком смысле. Это значит, что при заданных начальном распределении и переходной функции марковского процесса, как отмечено в начале этой главы, есть принципиальная возможность его моделирования.

Если существует неотрицательная функция p (s, x, t, y) такая, что

для всех s, x, A s < t, то ее называют переходной плотностью марковского процесса. Марковский процесс называется однородным, если его переходная вероятность зависит не от двух временных аргументов s и t, а только от их разности t - s:

(25)

Мы рассмотрим далее моделирование некоторых подклассов марковских процессов.

6.2. Цепи Маркова. Марковский процесс { X _t, t Î T }, у которого дискретно как временное множество T, так и фазовое пространство E, называют цепью Маркова. В этом случае без потери общности можно считать, что
T = {0, 1, 2...} и E = {0, 1, 2,...}. Переходную функцию при этом достаточно определить для одноточечных множеств A _k = { k }, k = 0, 1,..., и целесообразно использовать обозначение

P (m, i, n, k) = p_ik (m, n). (26)

Определенная таким образом величина p_ik (m, n) называется переходной вероятностью цепи Маркова и представляет собой условную вероятность оказаться в k -том состоянии на n -м шаге при условии, что на m -том шаге (m < n) она находилась в состоянии i. Уравнение Чепмена-Колмогорова для переходной вероятности будет иметь вид

(27)

для любых m < r < n и i, k Î E. Если наряду с переходной вероятностью (26) задано также начальное распределение

p _k = P { X ₀ = k }, k = 0, 1,..., (28)

то будут определены и конечномерные распределения цепи Маркова: для любых n шагов с номерами m ₁ < m ₂ <... < m _n и любых состояний i_r Î E, имеем

(29)

Моделирование значений , ,..., цепи Маркова сводится, таким образом, к моделированию случайного вектора с заданным законом распределения вероятностей: следует сначала смоделировать с.в. в соответствии с безусловным распределением

, k = 0, 1,..., (30)

а последующие значения , 1 < r £ n, цепи - в соответствии с переходными (условными) вероятностями .

Моделирование цепи Маркова в частных случаях может упрощаться. Так для конечной цепи Маркова, у которой E = {0, 1,..., N}, суммы в правых частях формул (27) и (30) будут конечными. Соответственно, более простой будет и процедура моделирования, поскольку будут конечными как совокупности вероятностей начальных состояний, так и совокупности переходных вероятностей.

Другое упрощение следует из однородности цепи Маркова, что выражается равенством p_ik (m, m + n) = p_ik (n) для любых m ³ 0, n ³ 1. Пользуясь уравнением Чепмена-Колмогорова, легко показать, что переходные вероятности однородной цепи Маркова за n шагов вполне определяются ее переходными вероятностями p_ik (1) = p_ik, i, k Î E за один шаг. Если - матрица переходных вероятностей за n шагов, а P = - матрица переходных вероятностей за один шаг, то легко убедиться, что P ⁽ⁿ⁾ = P ⁿ, где в правой части стоит n -я степень матрицы P. Это значит, что однородная цепь Маркова как процесс в широком смысле вполне задается начальным распределением и переходными вероятностями за один шаг. Отсюда вытекает алгоритм моделирования последовательных значений цепи Маркова: X ₀, X ₁, X ₂,.... Для получения значения с.в. X ₀ моделируем дискретное распределение
{p _k, k = 0, 1,... }. Пусть получено значение i ₀. Тогда значение с.в. X ₁ моделируем в соответствии с распределением { , k = 0, 1,...}. Этот процесс продолжается до получения реализации цепи Маркова нужной "длины".

Разумеется, моделирование будет еще проще, когда однородная цепь Маркова является конечной.

6.3. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным фазовым пространством. Рассмотрим марковский процесс { X_t, t Î T }, у которого пространство состояний E = {0, 1,...} - конечно или счетно, а
T = [0,¥). Предположим, что он однороден во времени и обозначим его переходную вероятность

P (s, i, s + t, k) = p _ik (t) (31)

для любых i, k Î E и s ³ 0, t ³ 0. Будем также предполагать, что с вероятностью 1 реализации x _t(w) рассматриваемого процесса непрерывны справа в каждой точке t ³ 0. Состояние i будем называть поглощающим, если p _ii(t) = 1 для всех t > 0. Остальные состояния будем называть непоглощающими. Пусть t - момент первого выхода из начального состояния.

Утверждение 1. Если начальное состояние X ₀ = i является непоглощающим, t - момент выхода из начального состояния, то при некотором
l_i > 0

P _i {t > t } = exp{-l_it}, (32)

где P _i обозначает условную вероятность при условии X₀ = i; при этом величины t и X_t независимы.

Доказательство этого утверждения можно найти в [7].

Замечание 1. Для поглощающих состояний j будем считать l _j = 0. Так как в этом случае для любого t P _j {t > t } = 1, то формула (32) остается справедливой.

Обозначим

P _i {X_t = j } = p _i (33)

и рассмотрим величины: t₁ - момент выхода из начального состояния, , t₂ - время, которое процесс пробудет в состоянии , q₂ = t₁ + t₂, ,.... Если , t_n-1, q_n-1 определены, то t _n - время, которое процесс находится в состоянии с момента q_n-1 до выхода из этого состояния,
q_n = q_n-1 + t _n, = .

Утверждение 2. Величины , ,... образуют однородную цепь Маркова, для которой вероятности перехода за один шаг даются равенством (33); условное распределение t₁,...,t_n при условии, что заданы совпадает с распределением n независимых показательно-распределенных с.в. с параметрами .

Утверждение 2 позволяет описать поведение рассматриваемых марковских процессов. Имеется цепь Маркова , n = 0, 1,..., называемая вложенной цепью Маркова, с вероятностями перехода за один шаг p_ij. Последовательные состояния этой цепи определяют последовательные состояния процесса с непрерывным временем. Время пребывания процесса X_t в состоянии является показательно-распределенной величиной (при условии, что задано = ) с параметром и не зависит от времени пребывания в предыдущих состояниях. Таким образом, зная вложенную цепь Маркова, можно построить процесс Маркова с непрерывным временем до момента

Процесс называется регулярным, если для всех i Î E

Таким образом, моделирование однородного марковского процесса с непрерывным временем и дискретным фазовым пространством сводится к моделированию вложенной однородной цепи Маркова, рассмотренному в предыдущем пункте настоящего параграфа, и моделированию последовательности независимых показательно-распределенных с.в.

6.4. Диффузионные марковские процессы. Так называется класс непрерывных марковских процессов, которые могут служить математической моделью явления диффузии - перемещения частицы под воздействием молекул среды, находящихся в хаотическом тепловом движении. Формально диффузионный марковский процесс можно определить через его переходную функцию. Пусть E - конечномерное евклидово пространство - фазовое пространство процесса X = { X_t, t ³ 0}; P (s, x, t, A) - его переходная функция. Прежде всего будем предполагать, что процесс X с вероятностью 1 имеет реализации без разрывов второго рода. Теперь сформулируем условия диффузионности: для x Î E, t ³ 0, e > 0

1)

где V _e(x) - шар радиуса e;

2) ,

где a(t, x) - измеримая функция на [0,¥)´ E со значениями в E;

3) для всех z Î E

,

где (·,·) - скалярное произведение в E, B (t, x) - измеримая симметричная неотрицательно определенная матричная функция на [0,¥) ´ E, действующая из E в E. Функции a (t, x) и B (t,x) называются диффузионными коэффициентами процесса: a (t,x) - вектором (коэффициентом) переноса, B(t,x) - оператором (коэффициентом) диффузии.

Условие 1) вместе с отсутствием разрывов 2-го рода является условием непрерывности процесса. Условие 2) указывает на наличие движения среды, в которой находится частица: частица из точки x в момент t за время h в среднем смещается на a (t,x) h. Условие 3) показывает, что матрица B (t,x) характеризует величину среднего квадратического отклонения частицы от ее положения x в момент t. Если среда изотропна (ее свойства одинаковы по всем направлениям), то B (t,x) = b ²(t,x) I, где b ²(t,x) - числовая функция, называемая коэффициентом диффузии, I - единичная матрица.

Далее для простоты будем рассматривать процессы в одномерном фазовом пространстве E = R¹. Широкий класс диффузионных процессов с непрерывными коэффициентами образуют решения стохастических дифференциальных уравнений

dX _t = a (t,X_t) dt + b (t, X_t) dw _t, (34)

или, в интегральной форме,

. (35)

Второй интеграл в правой части последнего уравнения, называемый стохастическим интегралом по винеровсому процессу { w _t, t ³ 0} просто определяется в случае непрерывной зависимости подынтегрального процесса от s. Пусть непрерывный с вероятностью 1 случайный процесс { Y_t, t ³ 0} согласован с винеровским процессом в следующем смысле: приращения w_t - w_s при t > s не зависят от совокупности случайных величин Y_u, w _u, u £ s. Тогда существует предел в смысле сходимости по вероятности интегральных сумм

, 0 = s ₀ <... < s_n = t

при который называется стохастическим интегралом и обозначается символом

.

Решением уравнения (35) с непрерывными по совокупности переменных коэффициентами a (t,x) и b (t,x) называется согласованный с винеровским процессом процесс { X_t, t ³ 0} с непрерывными траекториями, такой, что равенство (35) справедливо для всех t > 0 с вероятностью 1.

Подробнее о стохастических интегралах и стохастических дифференциальных уравнениях см. [2].

Решения стохастических дифференциальных уравнений моделируются путем перехода к разностной схеме. Так, если процесс { X_t, t ³ 0} определяется уравнением (34), то простейшая разностная схема имеет вид

,

где k = 1, 2,... 0 = t ₀ < t ₁ <... < t_{k -1} < t_k <....

Замечание 2. Попытки формального применения метода Рунге-Кутта с целью повышения точности моделирования решения стохастического дифференциального уравнения оказываются несостоятельными, поскольку винеровский процесс не обладает никакими производными.

Стационарные процессы

7.1. Общий подход к моделированию стационарных процессов. Мы рассматриваем здесь комплекснозначные процессы X = { X_t, t Î T }, у которых параметрическое множество T либо совокупность целых чисел {0, ±1, ±2,...} (случай дискретного времени), либо множество всех действительных чисел
(-¥, ¥) (случай непрерывного времени). Если у процесса X имеются моментные функции до второго порядка включительно, причем среднее значение M X_t º m = const, а корреляционная функция

, (36)

то X называется стационарным в широком смысле. Употребляемый в дальнейшем без оговорок термин "стационарный" подразумевает стационарность в широком смысле.

В рамках теории гильбертовых случайных процессов основными характеристиками стационарного процесса являются моментные функции первого и второго порядков, а именно среднее значение M X_t º m и корреляционная функция процесса. Для простоты (и без потери общности) в дальнейшем считаем, что m = 0. Центральным результатом теории стационарных процессов является теорема А. Я. Хинчина о спектральном представлении процесса и его корреляционной функции.

Теорема 2. Каждый стационарный процесс X допускает спектральное представление

(37)

в виде стохастического интеграла по комплекснозначному процессу с ортогональными приращениями Z. При этом корреляционная функция R(t) процесса X допускает представление

, t Î T (38)

в виде интеграла Стилтьеса по неубывающей непрерывной слева функции

ограниченной вариации F(w). Интегрирование в (37) и (38) производится в пределах -p £ w £ p в случае дискретного времени t, и в пределах -¥ < w < ¥ - в случае непрерывного t.

Замечание 1. Функция F (w) в представлении (38) называется спектральной функцией процесса X. Она однозначно может быть восстановлена по корреляционной функции R (t). Особенно просто это делается в случае, когда F (w) абсолютно непрерывна. Тогда ее производная f (w) = dF (w)/dw называется спектральной плотностью процесса. В этом случае "формулы обращения" имеют вид

, w Î [-p,p] (39)

в случае дискретного времени и

, w Î (-¥,¥) (40)

в случае непрерывного времени.

Замечание 2. Спектральная функция F (w) стационарного процесса X служит структурной функцией процесса с ортогональными приращениями Z, участвующего в представлении (37) процесса X:

(41)

для любых точек w₁ < w₂ спектра процесса X.

Спектральное представление (37) стационарного процесса через процесс более простой структуры (процесс с ортогональными приращениями) можно положить в основу приближенного моделирования процесса X. Для этого разобьем интервал, в котором 0 < F (w) < F(+¥), на интервалы D_k и возьмем в D_k произвольную точку w _k. Тогда, если F_k - приращение F (w) на интервале D_k, то можно записать:

и, следовательно

, (42)

где { Z_k } - ортогональные приращения процесса Z на интервалах { D_k }. Таким образом, формула (42) указывает алгоритм моделирования значений процесса X. Для работы этого алгоритма необходимо уметь моделировать процесс с ортогональными приращениями Z со структурной функцией F (w). Моделирование приращений Z_k в формуле (42) возможно, в частности, когда Z является центрированным процессом с независимыми приращениями с заданным семейством двумерных распределений.

Изложенный выше общий подход к моделированию стационарных процессов далеко не всегда удается реализовать на практике. Поэтому ниже мы рассмотрим частные случаи стационарных процессов, для которых задача моделирования решается в силу специфической структуры этих процессов.

7.2. Моделирование процесса с дробно-рациональной спектральной плотностью. Будем рассматривать одномерный стационарный гауссов процесс X_t с непрерывным временем, обладающий спектральной плотностью вида

(43)

где P (z) и Q(z) - многочлены от z с действительными коэффициентами:

, , a ₀ = 1,

причем m < n и нули Q(z) лежат в левой полуплоскости. Представление f (w) в виде (43) означает, что процесс X_t можно получить в виде линейной комбинации процесса Y_t и m - 1 его производных:

, (44)

где Y_t является решением линейного стохастического дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

, (45)

где w _t, t ³ 0 - винеровский процесс. Если ввести вектор (столбец)
V _t = , то уравнение (45) запишется в векторной форме

d V _t = AV _t dt + d W _t, (46)

где

,

Заметим, что стационарное решение уравнения (45) имеет спектральную плотность

. (47)

Если вектор V _t будет найден, то значение процесса X_t находится по ф

1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров