Показникова функція комплексної змінної

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 11Следующая ⇒

Означення5. Функція виду

називається показниковою функцією, яка відображає розширену площину z на розширену площину .

Властивості

1) ;

2) ;

3) , тобто – період показникової функції.

Теорема6. Показникова функція взаємно-однозначно та конформно відображає смугу шириною , паралельну дійсної осі, на кут розчину з вершиною в початку координат.

Наслідок. Смуга конформно відображається на площину з вирізаною додатною частиною дійсної осі. Причому, нижня границя переходе у верхній берег розрізу, а – в нижній берег розрізу.

Доведення див. [3, с. 91].

Поверхня Рімана, у яку конформно відображається розширена площина z будується наступним чином: потрібно взяти нескінченно багато площин , у яких відтворений розріз по додатній частині дійсної осі. Розміщуючи площини одна під іншою та нижній берег розрізу склеїмо з верхнім берегом розрізу і т. д. Та склеїмо площини у нескінченно віддаленій точці. Отримана нескінченно-листа поверхня – поверхня Римана.

Приклад1. Відобразити за допомогою функції .

Розв’язання: () тоді , тобто , . Тоді та – спіраль.

Вправи

Вияснити, у що перетворюється за допомогою :

1) пряма ;

2) смуга ;

3) півсмуга ;

4) півсмуга ;

5) прямокутник ;

Знайти відображення, яке переводе:

6) смугу на площину;

7) смугу у праву півплощину;

8) смугу у ліву півплощину;

9) смугу у площину;

10) смугу у нижню півплощину.

Тригонометричні функції

Означення6. Функції , , які визначені на площині z, називаються косинусом та синусом від комплексного z.

Властивості:

1) – парна, - непарна функції;

2) , періодичні з періодом ;

3) , – необмежені у уявному направленні, тобто ;

4) всі тригонометричні формули виконуються для , ;

5) .

Оскільки, то достатньо розглянути функцію .

Теорема7. Функція смуги конформно відображує на площину з розрізами по променям [- ;-1] та [1; ]. Причому, якщо k – парне, то верхня півсмуга відображається у нижню півплощину та півпрямі , () відображаються у нижній берег розрізів відповідно по променям [1; ], [– ;–1]; нижня півсмуга відображається у верхню півплощину , при цьому , відображається у верхній берег розрізів по променям [1; ], [- ;-1] відповідно. При k непарному внутрішність нижньої півсмуги відображається у нижню півплощину та , () відображається у нижній берег розрізів по променям відповідно [– ;–1] та [1; ]; верхня півсмуга відображається на верхню півплощину та , відображається на верхній берег розрізів відповідно[– ;–1], [1; ].

Доведення тереми див. [2, с.160].

Поверхня Римана , на яку конформно відображається вся площина z, отримується з нескінченого числа площин , в кожній з яких проведено розріз по променям [1; ], [– ;–1]. Склеюючи площини по відповідним берегам розрізів[1; ], [- ;-1], отримуємо потрібну поверхню.

Приклад1. З’ясувати, у що перетворюється пряма функцією .

Розв’язання:

.

Тоді u= ,

або , .

.

Тобто відображає пряму у гіперболу .

Вправи

З’ясувати, у що перетворюється при відображенні

1)

2) ;

3) смуга ;

4) півсмуга ;

5) прямокутник ; ;

6) півсмуга ;

7) півсмуга ;

8) півсмуга ;

9) смуга ;

10) півсмуга .

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов