Степенева функція. Поверхня Рімана

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 11Следующая ⇒

Означення3. Функція називається степеневою.

Визначена та однозначна на всій розширеній площині z, z= ставимо у відповідність .

Оскільки та для будь-якого , то у всіх зберігає кути та постійність розтягувань. При кути не зберігаються. Дійсно, якщо такі, що , , то , тобто кут між та дорівнює та збільшується у n разів згідно з кутом між .

Аналогічно з z= .

Теорема3. Сектори взаємно однозначно, а значить і конформно відображаються на площину з вирізаним променем .

Доведення [1,2,3].

Причому границя області відображається у верхній берег розрізу , а границя у нижній берег розрізу, .

Розіб’ємо всю площину z на сектори , тоді сектору взаємно-однозначно ставить у відповідність площину з розрізом по променю . Позначимо - вказану площину відповідну , таких площин буде . Для взаємно-однозначного образу всієї розширеної площини z візьмемо n „листків” площини та розмістимо ці „листки” один над одним так, щоб точки з однаковими координатами були розміщені один над другим. „Склеїмо” розміщені один над одним „листки” по тим берегам розрізу , які є образами одного і того ж променя , який є загальною границею двох сусідніх секторів. Тобто, нижній берег розрізу з’єднаємо з верхнім берегом розрізу , вільний нижній берег розрізу – з верхнім берегом розрізу і так далі та, нарешті, нижній берег розрізу листка та верхній берег розрізу (останнє з’єднання потрібно розуміти у змісті ототожнення точок з однаковими абсцисами відповідних берегів розрізів та ). Крім того, у всіх площин „склеїмо” точки z=0 та z= . Отриману n –„листкову” замкнену поверхню називають поверхнею Римана значень функції .

Із всього вище сказаного можна зробити висновок: функція здійснює взаємно-однозначне відображення розширеної площини z на поверхню Римана, яке є конформним у всіх точках площини z, крім z=0 та z= .

Приклад1. Відобразити кут на верхню півплощину.

Розв’язання. відображає вказаний кут на нижню півплощину за властивостями степеневої функції. Тепер нижню півплощину потрібно відобразити у верхню. Це можна зробити за допомогою повороту на або радіан, тобто шукана функція має вид .

Вправи

1) відобразити кут на верхню півплощину;

2) кут на праву півплощину;

3) кут на нижню півплощину;

4) кут на ліву півплощину;

5) кут на коло ;

6) кут на коло .

Знайти образ областей при відображенні:

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) ,

Функція Жуковского

Означення4. Функція виду називається функцією Жуковського та відображає площину z на площину .

Якщо довизначити , то отримаємо відображення розширеної площини z на розширену площину . Оскільки , то виконує відображення, яке зберігає кути та постійність розтягувань у всіх точках, крім .

Теорема4. Функція виконує конформне відображення середини одиничного кола на зовнішність відрізку [-1;1] площини . При цьому відображається на нижню півплощину , на верхню півплощину .

Теорема5. Функція конформно відображає область на зовнішність[-1;1] площини . При цьому відображається на верхню півплощину , , на нижню півплощину .

Доведення теореми див.[2, 130-133].

Візьмемо дві площини з розрізами по відрізку [-1;1] та „склеїмо” нижній берег розриву з верхнім берегом розрізу , а верхній берег розрізу - з нижнім берегом розрізу . Отримана дволиста поверхня - поверхня Римана для функції Жуковського, на яку вона конформно відображає розширену площину z.

Приклад1. Відобразити півколо на праву півплощину.

Розв’язання: відображає півколо на нижню півплощину . Тому відображення буде шуканим, тобто відображати півколо на праву півплощину.

Вправи

Знайти область, у які функція Жуковського відображає:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Відобразити вказані області на верхню півплощину:

6) з розрізом по [ ;1];

7) з розрізом по [–1;0], [а;1] ;

8) з розрізами [–а;1] та [1; ), a>1;

9) з розрізом [0; ] ;

10) з розрізом [ ; i], .

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте