Смешанное произведение векторов

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

▷ Похожие статьи

Основные теоретические сведения

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называют число (векторно-скалярное произведение).

Свойства смешанного произведения:

1. . Это свойство позволяет ввести для смешанного произведения обозначение .

2. Циклическая перестановка векторов не меняет величины смешанного произведения, т.е.

3. где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах , а – объем пирамиды, построенной на векторах .

4. Для того чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Замечание. Из определения смешанного произведения следует, что смешанное произведение равно нулю, если среди сомножителей хотя бы два вектора коллинеарны.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе : , то их смешанное произведение вычисляется в виде

.

5. Если – тройка векторов называется правой, – левой.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 4.1. Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение. Способ 1.

или

Способ 2.

Ответ. –2

Задача 4.2. Упростить выражение:

Решение.

Ответ. 3.

Задача 4.3. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и Вычислить .

Решение. по определению скалярного произведения векторов и .

Из определения векторного произведения векторов и следует, что . Следовательно, угол между векторами и равен нулю и косинус этого угла равен 1. Тогда

Ответ. 24.

Задача 4.4. Дано: и . Вычислить .

Решение.

.

Ответ. –7.

Замечание. Векторы образуют левую тройку.

Задача 4.5. Установить, образуют ли векторы и базис в множестве всех векторов.

Решение.

Смешанное произведение векторов оказалось равным нулю, следовательно, эти вектора компланарны, а значит, базисом в множестве всех векторов они быть не могут.

Ответ. Не образуют.

Задача 4.6. Доказать тождество .

Решение.

Все слагаемые – смешанные произведения; те из слагаемых, в которых два вектора совпадают, равны нулю.

Задача 4.7. Доказать, что если , причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то векторы – компланарны.

Решение. Пусть . Умножим обе части данного равенства скалярно на вектор . Получим – компланарны. Что и требовалось доказать.

Задача 4.8. Вычислить объем тетраэдра OABC, если

.

Решение. Объем тетраэдра равен шестой части объема параллелепипеда, следовательно:

Ответ.

Задача 4.9. В тетраэдре с вершинами в точках A (1,1,1) B (2,0,2), C (2,2,2) и D вычислить высоту .

Решение. (рис. 1.19).С другой стороны, Таким образом

Рис. 1.19

Ответ. .

Задача 4.10. Доказать, что четыре точки A (1,2,–1), B (0,1,5), C (–1,2,1) и D (2,1,3) лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно убедиться в том, что, например, векторы и компланарны:

Что и требовалось доказать.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Определить, какой является тройка (правой или левой), если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Ответ. 1) правая; 2) левая; 3) левая; 4) правая; 5) векторы коллинеарны; 6) левая.

2. Вектор перпендикулярен к векторам и , угол между ними равен . Зная, что , вычислить .

Ответ. .

3. Доказать, что . В каком случае здесь может иметь место знак равенства?

Ответ. В том случае, когда векторы , и взаимно перпендикулярны.

4. Доказать тождество , где l и m– какие угодно числа.

5. Показать, что четырехугольник с вершинами , , и есть квадрат.

6. Установить, компланарны ли векторы , если , , .

Ответ. Да.

7. Установить, лежат ли в одной плоскости точки , , и .

Ответ. Да.

8. В тетраэдре с вершинами , , и найти площадь грани АВСD и длину высоты, проведенной к этой грани.

Ответ. кв. ед.; .

9. Объем тетраэдра , три его вершины находятся в точках , , . Найти координаты четвертой вершины , если известно, что она лежит на оси Оу.

Ответ. , .

10. Объем тетраэдра равен 2. Вершины лежат в т. , и . Найти коэффициенты вершины , если известно, что она лежит на оси абсцисс и тройка векторов , , – левая. Найти высоту тетраэдра, опущенную из вершины .

Ответ. ; .

Таблица 1

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии