Векторное произведение векторов

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Основные теоретические сведения

Определение. Векторным произведение вектора на вектор называется такой вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:

1. и , т.е. вектор перпендикулярен плоскости, в которой можно расположить векторы и ;

2. т.е. длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ;

3. упорядоченная тройка векторов – правая, т.е. если привести векторы к общему началу и смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к должен быть виден против часовой стрелки (рис. в табл.1).

Векторное произведение обозначают или . Из определения векторного произведения следует, например, что при , т.е. необходимым и достаточным условием равенства нулю векторного произведения является коллинеарность векторов.

Алгебраические свойства векторного произведения

1) ;

2) ;

3) .

Если векторы и заданы своими координатами в ортонормированном базисе (в декартовой системе координат) , то векторное произведение в том же базисе вычисляется так:

, .

Векторное произведение векторов широко используется в геометрии, механике, физике, теории поля и т.д.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 3.1. Дано: ; и . Вычислить:

1. ;

2. ;

3. .

Решение.

1. По определению .

Ответ. .

2. Используя свойства векторного произведения, преобразуем произведение .

Следовательно, .

Ответ. .

3. Аналогично

.

Ответ. .

Задача 3.2. Дано: , и . Вычислить .

Решение. По определению скалярного произведения .

По условию , следовательно, . Тогда .

Таким образом, .

Ответ. .

Задача 3.3. Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы и , чтобы векторы и были коллинеарны?

Решение. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, т.е. .

Следовательно, по свойствам векторного произведения векторы и коллинеарны (сонаправлены или противонаправлены).

Замечание. К такому же выводу можно прийти, если вспомнить, что сумма и разность двух векторов – это векторы, совпадающие с диагоналями параллелограмма, построенного на исходных векторах.

Ответ. .

Задача 3.4. Упростить выражения:

1. ;

2. ;

3. .

Решение.

1.

,

т.к. вектор совпадает по определению с вектором , а с вектором .

Ответ. .

2.

.

Ответ. .

3.

.

Здесь мы воспользовались свойством скалярного квадрата вектора.

Ответ. 3.

Задача 3.5. Дано: . Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и .

Решение. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на тех же векторах. Следовательно: , ,

.

Ответ. .

Задача 3.6. Дано: , . Найти координаты векторов:

1. ;

2. .

Решение.

Способ 1.

,

тогда

.

Ответ. .

2. .

Тогда .

Ответ. .

Способ 2. Можно, воспользовавшись свойствами векторного произведения, сначала преобразовать искомое произведение (как мы это делали в задача 3.3 и 3.4):

1. .

2. Этот пункт решается аналогично.

Задача 3.7. В треугольнике с вершинами , и найти .

Решение. Из определения векторного произведения имеем (рис. 1.18). С другой стороны, . Следовательно, ,

.

Рис. 1.18

Аналогично , ;

,

.

Таким образом, .

Ответ. 5.

Задача 3.8. Сила приложена к точке . Определить момент этой силы относительно точки .

Решение. Если вектор изображает силу, приложенную к какой-либо точке А, а вектор имеет начало в точке О и конец в точке А, то вектор представляет собой момент силы относительно точки О. Таким образом, нам необходимо вычислить

.

Ответ. .

Задача 3.9. Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам и , образует с ортом тупой угол и .

Решение. По условию , :

.

Вектор , , причем , т.к. вектор так же, как и вектор , образует с ортом тупой угол (проекция вектора на направление орта равна отрицательному числу -12). Следовательно, . Итак, .

Ответ. .

Задача 3.10. Найти площадь параллелограмма, диагонали которого и . Угол между диагоналями .

Решение. По свойствам параллелограмма, известно: , а .

Тогда по условиям задачи , .

Складывая и вычитая полученные уравнения, будем иметь

, .

Найдем векторное произведение, используя его свойства.

.

Площадь параллелограмма: .

Ответ. .

Задача 3.11. Даны векторы и , приложенные к общей точке. Найти орт биссектрисы угла между векторами и .

Решение. Найдем длины векторов и :

и .

Биссектриса совпадает с диагональю ромба, поэтому найдем орты векторов и , и сложим их: .

.

Длина вектора: .

Орт вектора : .

Ответ: .

Задача 3.12. Вектор перпендикулярный к оси и вектору , образует острый угол с осью . Зная, что . Найти его координаты.

Решение.

Способ 1: Пусть .

по условию, т.к. , т.к. – острый угол; , т.е. .

Составим систему уравнений и решим ее.

, ,

,

, ,

, не подходит, т.к. по условию.

Итак, .

Способ 2. Используем векторное произведение.

, , , .

, вычислим вектор :

.

Получили , по условию .

, подходит , т.к. по условию.

Итак, .

Ответ: .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Векторы и образуют угол . Зная, что вычислить .

Ответ. 15.

2. Даны , . Вычислить .

Ответ. 16.

3. Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что , вычислить

1) , 2) .

Ответ. 1) 24, 2) 60.

4. Векторы и образуют угол . Зная, что , вычислить

1) , 2) , 3) .

Ответ. 1) 3, 2) 27, 3) 300.

5. Найти орт , перпендикулярный векторам и .

Ответ. .

6. Вычислить площадь треугольника с вершинами , и .

Ответ. 14 кв. ед.

7. Сила приложена к точке . Найти момент этой силы относительно начала координат.

Указание: если – сила, прилаженная к точке М, то момент этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов и .

Ответ. .

8. Дана сила и точки ее приложения . Найти момент этой силы относительно точки и углы, составляемые им с координатными осями.

Ответ. ; , , .

9. Даны векторы и . Найти векторное произведение .

Ответ. .

10. Дан треугольник с вершинами , и . Найти длину его высоты, проведенной из вершины С.

Ответ. 10.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры