Числовые характеристики нормального распределения.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 11Следующая ⇒

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение

f (x)= e .

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и σ. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

M (ξ)= .

Введем новую переменную z=(x-а)/σ. Отсюда x=σz+a, dx=σdz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

M (ξ)= σz + a) e dz =

= ze dz + dz.

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно а (интеграл Пуассона dz = ).

Итак, М (ξ) =а, то есть математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М (ξ) =а, имеем

D(ξ)= x-a)² e dx

Введем новую переменную z =(х — а)/σ. Отсюда х – a=σz, dx=σdz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

D (ξ)= ·ze dz

Интегрируя по частям, положив u=z, dυ=ze dz, найдем

D (ξ) =σ².

Следовательно,

σ (ξ)= = =a.

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру σ.

Определение. Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

A_s = µ₃ / σ³.

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции): если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна (рис.18а), если слева – отрицательна (рис.18б). Для оценки «крутости», то есть большего или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой - эксцессом.

Определение. Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством

E_k=(µ₄/σ⁴)–3.

Для нормального распределения µ₄/σ⁴=3; следовательно, эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая. При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.

§26. Свойства нормального распределения

Нормальное распределение с произвольными параметрами а и σ (σ >0). называют общим, его плотность имеет вид

f (x)= e .

Определение. Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а=0 и σ=1. Например, если ξ - нормальная величина с параметрами а и σ, то η= (ξ - а)/ σ - нормированная нормальная величина, причем M(η)=0, σ(η)=l.

Плотность нормированного распределения

f₀ (x)= e .

Для этой функции создана таблица значений.

Замечание. Функция F (х) общего нормального распределения

F (x) =

а функция нормированного распределения

F₀ (x) = .

Для функции F₀ (x) создана таблица значений. Имеет место соотношение

F (x) =F₀ ((x-а)/ σ).

Замечание. Вероятность попадания нормированной нормальной величины ξ в интервал (0;х) можно найти, пользуясь функцией Лапласа Ф (х)= . Действительно,

P (0< ξ < x)= = = Ф (х).

Замечание. Учитывая, что =1, и, следовательно, в силу симметрии φ (x) относительно нуля = 0,5, а значит, и Р(-∞<ξ<0)=0,5, легко получить, что

F₀(x)=0,5+Ф(х).

Действительно,

F₀(x)=P(-∞<ξ<x)=Р(-∞<ξ<0)+Р(0<ξ<x)=0,5+Ф(х).

Нормальная кривая.

Определение. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Исследуем функцию

y = e

методами дифференциального исчисления.

Свойства нормальной кривой.

Свойство 1. Очевидно, функция определена на всей оси x.

Свойство 2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, то есть нормальная кривая расположена над осью OX.

Свойство 3 Предел функции при неограниченном возрастании х (по абсолютной величине) равен нулю: y=0,то есть ось OX служит горизонтальной асимптотой графика.

Свойство 4. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:

y ´= e .

Легко видеть, что у’ = 0 при х=а, у’ > 0 при х < а, у’ < 0 при х > а.

Следовательно, при х=а функция имеет максимум, равный 1 /(σ ).

Свойство 5. Разность х - а содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, то есть график функции симметричен относительно прямой х = а.

Свойство 6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

y ´´= e .

Легко видеть, что при х=а+σ и х=а - σ вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции равно 1 /(σ е)). Таким образом, точки графика (а - σ,1/(σ е)) и (а + σ, 1 /(σ е)) являются точками перегиба.

Изобразим нормальную кривую при а=1 и σ=2.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США