Вероятность попадания случайной точки в полуполосу.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 11Следующая ⇒

Используя функцию распределения системы случайных величин ξ и η, легко найти вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадает в полу полосу х₁ < ξ < х₂, η < y (рис.13а) или в полуполосу ξ < х и y₁ < η < y₂ (рис.13б).

Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной (х₂; y) вероятность попадания точки в квадрант с вершиной (х₁; y)(рис.13а), получим

Р (х₁ ≤ ξ < х₂, η < y)= F (х₂, y)- F (х₁, y).

Аналогично имеем Р (ξ < х, y₁ ≤ η < y₂)= F (х, y₂)- F (х, y₁).

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными координатным осям. Пусть уравнения сторон таковы:

ξ=x₁, ξ=x₂, η=y₁ и η=y₂.

Найдем вероятность попадания случайной точки (ξ; η) в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так из вероятности попадания случайной точки в полу полосу АВ с вертикальной штриховкой (эта вероятность равна F (х₂, y₂)- F (х₁, y₂))вычесть вероятность попадания точки в полуполосу CD с горизонтальной штриховкой (эта вероятность равна F (х₂, y₁)- F (х₁, y₁)):

Р (х₁ ≤ ξ < х₂, y₁ ≤ η < y₂)=[ F (х₂, y₂)- F (х₁, y₂)]–[ F (х₂, y₁)- F (х₁, y₁)].

Пример. Найти вероятность попадания случайной точки (ξ; η) в прямоугольник, ограниченный прямыми х=π/6,х=π/2,у=π/4,у=π/3, если известна функция распределения

F (x, y)=sin x sin y (0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2).

Решение. Положив х₁=π/6, х₂=π/2, у₁=π/4, у₂=π/3, получим

Р(π/6<ξ<π/2, π/4<η<π/3)=[F(π/2,π/3)-F(π/6,π/3)]-[F(π/2,π/4)-F(π/6, π/4)]=

=[sin(π/2) sin(π/3)-sin(π/6) sin(π/3)]-[sin(π/2) sin(π/4)-sin(π/6) sin(π/4)]=

=[ /2- /4]-[ /2- /4]=( - )/4=0,08.

§19. Двумерная плотность

Двумерная случайная величина задается с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Будем предполагать, что функция распределения F (х, у) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка.

Определение. Плотностью совместного распределения вероятностей f (x, у) двумерной непрерывной случайной величины (ξ, η) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

f (x, у)= .

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Пример. Найти плотность совместного распределения f (x, у) системы случайных величин (ξ, η) по известной функции распределения

F(х,у)=sinх sinу (0≤х≤π/2, 0≤у≤π/2).

Решение. По определению плотности совместного распределения,

f (x, у)= .

Найдем частную производную по х от функции распределения:

=cos х sin у.

Найдем от полученного результата частную производную по у, в итоге получим искомую плотность совместного распределения:

f(x,у)= =cosх cosу (0≤х≤π/2, 0≤у≤π/2).

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману