Основні характеристики нечітких множин

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 19Следующая ⇒

Нехай та А – нечітка множина з елементами з універсальної множини Е і множиною належностей М.

§ Величина (верхня границя) називається висотою нечіткої множини А. Нечітка множина А є нормальною, якщо її висота дорівнює 1, тобто верхня границя її функції належності дорівнює 1 ( =1). При <1 нечітка множина називається субнормальною.

§ Нечітка множина є пустою, якщо =0. Непорожню субнормальну множину можна нормалізувати за формулою: .

§ Нечітка множина є унімодальною, якщо лише для одного x із Е.

§ Носієм нечіткої множини А є звичайна підмножина із властивістю , тобто .

§ Елементи , для яких називаються точками переходу множини А.

Приклади нечітких множин

1. Нехай E={0,1,2,..,10}, M=[0,1]. Нечітку множину “декілька” можна визначити таким чином: “декілька” = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8;

її характеристики: висота = 1, носій = {3,4,5,6,7,8}, точки переходу — {3,8}.

2. Нехай E = {0,1,2,3,...,n,...}. Нечітку множину “малий” можна визначити так:

.

3. Нехай E = {1,2,3,...,100}, відповідає поняттю “вік”. Тоді нечітку множину “молодий” можна визначити за допомогою виразу

.

Нечітка множина “молодий” на універсальній множині E' ={Іванов, Петров, Сидоров,...} задається за допомогою функції належності на множині E = {1,2,3,..100} (вік), що називається відносно E' функцією сумісності, при цьому , де – вік Сидорова.

4. Нехай E = {Запорожець, Жигулі, Мерседес,....} – множина марок автомобілів, а E' = [0,µ] – універсальна множина “вартість”, тоді на E' ми можемо визначити нечіткі множини типу: “для бідних”, “для середнього класу”, “престижні” з функціями належності типу (рис. 1.5.3):

Рис. 1.5.3. Графічне зображення нечітких множин

Маючи ці функції й знаючи ціну автомобілей із E у цей момент часу, визначимо на E' нечіткі множини з цими назвами. Так, нечітка множина “для небагатих”, задана на універсальній множині E={Запорожець, Жигулі, Мерседес,....} виглядає наступним чином (рис. 1.5.4):

Рис. 1.5.4. Графічне зображення нечітких множин

Аналогічно можна визначити нечітку множину “швидкісні”, “середні”, “тихохідні” і т.д.

Методи побудови функції належності нечітких множин У приведених вище прикладах використані прямі методи, коли експерт або просто задає для будь-якого значення , або визначає функцію належності. Як правило, прямі методи задання функції належності використовуються для вимірних понять, таких, як швидкість, час, відстань, тиск, температура тощо, тобто коли виділяються полярні значення.

У багатьох задачах при характеристиці об’єкта можна виділити набір ознак і для будь-якого з них визначити полярні значення, що відповідають значенням функції належності, 0 або 1.

Наприклад, у задачі розпізнання обличчя можна виділити наступні пункти:

Продовження

Для конкретного обличчя А експерт, виходячи із наведеної шкали, задає , формуючи векторну функцію належності

.

Непрямі методи визначення значень функції належності використовуються у випадках, коли немає елементарних вимірних властивостей для визначення нечіткої множини. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якщо б значення функцій належності були відомі, наприклад, , тоді попарні порівняння можна представити матрицею відношень , де (операція ділення).

Операції над нечіткими множинами

Нехай А і В – нечіткі множини на універсальній множині Е. Говорять, що А міститься у В, якщо . Позначення: .

Іноді використовують термін “домінування”, тобто у випадку якщо , говорять, що В домінує над А.

Рівність. А і В рівні, тобто . Позначення: .

Доповнення. Нехай , А і В – нечіткі множини, задані на Е. А і В доповнюють один одного, якщо . Позначення: або .

Очевидно, що (доповнення визначене для ), але очевидно, що його можна визначити для будь-якого впорядкованого М).

Перетин. – найбільш нечітка підмножина, яка міститься одночасно в А і В. .

Об’єднання. – найменша нечітка підмножина, котра включає як А, так і В, з функцією належності. .

Різниця. З функцією належності

.

Диз’юнктивна сума. з функцією належності:

Приклад. Нехай дано множини:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;

B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;

C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.

1. , тобто А міститься в В або В домінує над А, С незрівняна ні з А, ні з В, тобто пари – пари недомінуючих множин.

2. 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;

0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

3. 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

4. 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

5. 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

6. 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Наочне представлення операцій над нечіткими множинами

Для нечітких множин можна застосувати візуальне представлення. Розглянемо прямокутну систему координат, на осі ординат якої відкладаються значення , на осі абсцис у довільному порядку розміщені елементи Е. Якщо Е за своєю природою впорядкована множина, то цей порядок бажано зберегти у розміщенні елементів на осі абсцис. Таке представлення робить наочним прості операції над нечіткими множинами.

Нехай А нечіткий інтервал між 5 та 8 і В нечітке число 4, як показано на рисунку 1.5.5.

Рис. 1.5.5. Графічне зображення нечітких множин А та В

На рисунку 1.2.14 проілюструємо нечітку множину між 5 та 8 І (ЕND) біля 4 (синя лінія).

Рис. 1.5.6. Графічне зображення операції перетину нечітких множин А та В

Нечітка множина між 5 та 8 АБО (OR) показано на наступному рисунку 1.5.7 (знову синя лінія).

Рис. 1.5.7. Графічне зображення операції об’єднання нечітких множин А та В

Наступний рисунок 1.5.8 ілюструє операцію заперечення. Виділена лінія – це заперечення нечіткої множини А.

Рис. 1.5.8. Геометричне зображення операції заперечення

На цьому рисунку заштрихована частина відповідає нечіткій множині А та зображає область значень А і всіх нечітких множин, що містяться в А. Останній рисунок 1.5.9 зображає відповідно , , .

Рис. 1.5.9. Операції , ,

Властивості операцій

Комутативний закон для об’єднання і перетину множин

А È В= В È А;

А Ç В= В Ç А.

Асоціативний закон для об’єднання і перетину множин

А È (В È С)=(А È В) È С;

А Ç (В Ç С)=(А Ç В) Ç С.

Дистрибутивний закон для об’єднання й перетину множин

А È (В Ç С)=(А È В) Ç(А È С);

А Ç (В È С)=(А Ç В) È(А Ç С).

Властивості пустої множини та універсума відносно об’єднання

А ÈÆ = А;

А ÇÆ = Æ;

А È Е = Е;

А Ç Е = А;

Закон ідемпотентност ідля об’єднання і перетину множин

А È А = А;

А Ç А = А.

Закон інволюції

=А

Теорема де Моргана

;

.

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?