Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Уравнение касательной к графику функции.Содержание книги Поиск на нашем сайте Составим уравнение касательной к графику функции y = f(x) при х = х0. Эта прямая должна проходить через точку с координатами ( х0,у0 ), лежащую на графике функции, где у0 = f(x0), и иметь угловой коэффициент, равный производной f(x ) при х = х0. Воспользовавшись уравнением (7.9), получим: у = f`(x0)х + b, причем у0 = f`(x0)x0 + b, то есть b = y0 - f`(x0)x0. Тогда уравнение касательной можно записать в виде:
Дифференцируемость функции. Определение 17.2. Если приращение функции y = f(x) при х = х0 можно представить в виде
где A = const, то y = f(x ) называется дифференцируемой при х = х0, а АΔх называется главной линейной частью приращения или дифференциалом функции. Обозначение: dy = АΔх. Замечание. Так как при у = х получаем dx = 1·Δx, можно обозначать Δх = dx . Теорема 17.1. Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только в том случае, если она имеет в этой точке производную. Доказательство. 1) Если для y=f(x) существует 2) Пусть y=f(x ) дифференцируема при х=х0, то есть ее приращение имеет вид (17.2). Тогда Следствие. Дифференциал функции можно представить в виде Теорема 17.2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Доказательство. Из формулы (17.2) следует, что Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость. Например, y = |x | непрерывна при х = 0, но не дифференцируема в этой точке. Геометрический смысл дифференциала
В касательную к нему при х=х0. Тогда при прира- щении аргумента Δ х приращение функции Δ у С равно длине отрезка BD, а приращение ордина- ты касательной А D отрезка CD. Следовательно, дифференциал функции равен приращению ординаты Δ х касательной. х0 х Линеаризация функции. Так как истинное значение приращения функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем Δ х, при приближенных вычислениях можно заменять Δ у на dy, то есть считать, что f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + dy = f(x0) + f`(x0)(x -x0 ). При этом функция f(x ) для значений х, близких к х0, приближенно заменяется линейной функцией. Эта операция называется линеаризацией функции. Пример. Найдем приближенное значение
Лекция 18. Свойства производной (правила дифференцирования). Производная сложной и обратной функций. Инвариантность формы дифференциала. Таблица производных, логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Правила дифференцирования. Пусть при рассматриваемых значениях х существуют производные функций f(x ) и g(x ), то есть эти функции являются дифференцируемыми при данных значениях аргумента. Сформулируем и докажем некоторые свойства производных. 1. Доказательство.
2. Доказательство. 3. Доказательство.
4. Если g(x)≠ 0, то Доказательство.
|
||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; просмотров: 355; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 216.73.216.146 (0.007 с.) |
или 
(17.1)
, (17.2)
, то 
, где β(Δх) – бесконечно малая при Δ х →0. Тогда 
. Следовательно, функция y = f(x ) дифференцируема при х = х0, причем А = f`(x0 ).
. Таким образом, f(x ) имеет производную в точке х0, равную А.
, а производную – в виде 
.
, что и означает непрерывность f(x) при х = х0 .
у Рассмотрим график функции y=f(x ) и проведем
равно длине
. Пусть 
Тогда
(18.1)
где k =const. (18.2)
(18.3)
так как 
в силу непрерывности g(x). 
(18.4)
