Вращение твердого тела (корабельного на волнении или сухопутного на грунте носителя) вокруг неподвижной точки (регулярная прецессия)

1. Найти неподвижную точку вращающегося тела, выбираемую за начало отсчета
неподвижной и связанной
координатных систем. Выбрать оси прецессии ,
ротации , нутации ( ­­ или ¯­ ).

2. Определить угловые скорости нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость и мгновенную ось вращения .

В зависимости от задания движения твердого тела вектор можно определять двумя способами:

1) по ее составляющим ;

2) использовать мгновенную ось вращения , которую в дальнейшем будем для краткости обозначать . По известной скорости какой-либо точки М твердого тела и положению оси находят величину : , где – перпендикуляр, опущенный из точки М на ось .

3. Определить угловое ускорение твердого тела. В случае регулярной прецессии и является закрепленным в точке О вектором, положительное направление которого определяется как результат векторного произведения.

4. Определить скорости произвольных точек твердого тела по формуле Эйлера , величина которой .

5. Определить ускорения произвольных точек твердого тела по формуле , где - вектор осестремительного ускорения, величина которого ; - вектор вращательного ускорения, величина которого .

Так как всегда направлено от точки по к оси , можно не пользоваться векторной формой для . Что же касается , то его следует находить только по векторной форме.

Поскольку при вращении около полюса вектор неколлинеарен , то и , вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами, поэтому определение должно производиться после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет равна

.

Для точек, лежащих на оси ротации твердого тела, справедливы также следующие зависимости:

и ,

где – нормальное ускорение; – касательное ускорение, при регулярной прецессии =0.

Все векторы, лежащие в плоскости OXY (плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление же других векторов должно быть указано в тексте.

Пример 1. Дано. Конус 1 с углом 2a = 60° при вершине
(рис. 4.3) катится по неподвижному конусу 2 с углом 2b=120° при вершине без скольжения, приэтом вершина О конуса 1 остается неподвижной, а центр С его основания движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, с постоянной

скоростью , причем , =3 м/с, ОА=ОВ= 2м.

Определить. 1. Угол нутации q, угловую скорость нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость . 2. Угловое ускорение конуса . 3. Скорости точек А и В , . 4. Ускорения точек А, В, С (найти осестремительное и вращательное ускорения точки С).

Рис. 4.3

Решение. Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса 1 совпадает с образующей ОА.

1. Угол нутации , поскольку с конца оси нутации ОЕ поворот от оси прецессии OY к оси ротации Oy кажется против часовой стрелки; .

2. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, – окружность, плоскость которой перпендикулярна оси прецессии ОY и центр которой лежит на этой оси.

Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку

, (4.1)

где – кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси ; , то

. (4.2)

Учитывая заданное направление вектора , , отложим от точки О вдоль мгновенной оси = ОА вектор так, чтобы видеть с его конца вращение конуса вокруг этой оси в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки (рис. 4.3).

С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то

, (4.3)

где – кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY,равное .

Отсюда находим величину угловой скорости прецессии :

. (4.4)

Направление вектора определим в зависимости от задания движения конуса 1, в данном случае вращение конуса 1 вокруг оси прецессии происходит по часовой стрелке, поэтому ¯­ (оси прецессии).

3. Векторное равенство , в котором линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величину угловой скорости ротации, а именно: ; линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действия вектора ¯­ - ось прецессии OY, линией действия вектора - ось ротации Оy (рис. 4.3). Таким образом, величина угловой скорости ротации

. (4.5)

4. Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор ¯­ , так какс конца оси OZ поворот от вектора к вектору кажется по ходу часовой стрелки; величина углового ускорения

рад/с² . (4.6)

5. Скорости точек конуса 1:

· точки А , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1;

· точки В , где , и вектор ¯­ .

6. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.

Для точки А: ; ; ;

; ,
где ; м.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону .

Таким образом, ; .

Для точки В: ; ; .

Вектор направлен от точки B к мгновенной оси вращения конуса 1 (рис. 4 3). Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону . Величины этих векторов: ; , где м.

Полное ускорение точки B найдем как диагональ прямоугольника, построенного на векторах :

Для точки С:

а) ; ; ;

; .

Вектор направлен от точки С к мгновенной оси вращения кoнуса 1.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОС в сторону (рис. 4.3);

б) ;

Ответ. 1. Угол нутации q = p/2; угловая скорость нутации ; прецессии 1/с; ротации 1/с; мгновенная угловая скорость 1/с. 2. Угловое ускорение конуса 1/с². 3. Скорости точек А и В м/с.
4. Ускорения точек А, В, С м/c²; осестремительное ускорение точки С м/с²; вращательное ускорение точки С м/с².

Пример 2. Дано. Конус 1 с углом 2a при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2b при вершине в направлении, указанном стрелкой (рис. 4.4). Высота конуса OC = h. Вращательное ускорение центра С основания конуса = 0,48 м/с², h= 0,12 м, 2α = 120°, 2β = 60°.

Определить. 1. Угол нутации q, угловую скорость нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость . 2. Угловое ускорение конуса . 3. Скорости точек А, В, С . 4. Ускорения точек А, В, С .

Решение. Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения кону са 1 совпадает с образующей ОА.

1. Угол нутации: , так как с конца оси нутации ОZ=OE поворот от оси прецессии OY к оси ро-тации Оy кажется про-
тив часовой стрелки, .

2. Направление вектора определяется в зависимости от задания движения конуса 1 вокруг оси прецессии OY, в данном случае – против часовой стрелки, поэтому ↑↑ .

3. Векторное равенство , в котором линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величины угловых скоростей прецессии и ротации через мгновенную угловую скорость вращения . Так как линия действия вектора – ось прецессии OY,причем ↑↑ ,линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действиявектора – ось ротации Оy, то из векторного равенства следует, что ↑↑ , а ↑↑ , а величины угловых скоростей прецессии и ротации равны 1/с = const, 1/с = const.

4.Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор ­­ , так какс конца оси OZ поворот вектора к вектору кажется против хода часовой стрелки; величина углового ускорения 1/с² .

С другой стороны, по заданному , где , находим величину углового ускорения . Направление вектора указано в условии. Вектор лежит в плоскости (ВОА), перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОС в сторону .

Таким образом, используя полученные равенства , , , находим величины 1/с, 1/с, 1/с.

5. Скорости точек конуса 1:

· точки А: , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1;

· точки В: , где (см. рис. 4.4), и вектор ­­ ;

· точки С. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, – окружность, плоскость которой перпендикулярна оси прецессии ОY и центр которой лежит на этой оси. Поэтому скорость точки С конуса 1 можно определить по двум формулам:

1) , где – кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси вращения , ; , ­­ .

С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то

2) , где – кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY, ; = .

6. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.

Для точки А:

а) ; ; ;

так как ;

;

.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону . Таким образом, м/с².

Для точки В: ; ; .

Вектор направлен от точки B по к мгновенной оси вращения конуса 1. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону .

.

Полное ускорение точки B найдем через его проекции на оси дополнительной системы координат , лежащей в плоскости (BOA), как

:

м/с²;

м/с².

Для точки С:

1) ; ; ;

м/с²;

.

Вектор направлен от точки С по к мгновенной оси вращения конуса. Направление вектора указано в условии. Вектор направлен перпендикулярно ОС в сторону ;

2) ;

Причем, величину вектора можно получить как = =0,48∙3=1,44 м/с².

Ответ. 1. Угол нутации q = p/2; угловая скорость нутации ; угловые скорости прецессии 1/с; ротации рад/с; мгновенная угловая скорость = 4 рад/с.

2. Угловое ускорение конуса рад/с².

3. Скорости точек А, В, С: =0; ; м/с.

4. Ускорения точек А, В, С: = 0,96 м/с²; = 4,4 м/с²;

= 1,44 м/с².

5. Осестремительное ускорение точки С = 0,96 м/с².

6. Вращательное ускорение точки С (задано)
= 0,48 м/с² .