Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вращение твердого тела вокруг неподвижной точкиСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте 3.1. Выбор осей координат. Углы Крылова (корабельные Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной точки называется такое его движение, при котором одна точка твердого тела или неизменно с ним связанная остается неподвижной относительно выбранной системы отсчета. Его еще называют сферическим движением, поскольку траектория любой точки тела лежит на поверхности сферы с центром в неподвижной точке. Примером такого движения служит волчок, у которого остается неподвижной точка опоры. Число степеней свободы свободно движущегося в пространстве твердого тела равно шести. Если во время движения тела одна его точка остается неподвижной, то число степеней свободы такого тела при его вращении вокруг этой неподвижной точки будет равно трем и для оценки его положения необходимо задать три независимых параметра. Сделать это можно различными способами. Например, А.Н. Крылов в качестве таких параметров предложил так называемые корабельные углы, определяющие положение твердого тела (корабля) относительно системы координат, связанной своим началом с его центром тяжести (рис. 3.1).
Рис. 3.1
За оси неподвижной системы координат приняты CXYZ, а за оси жестко связанные с кораблем – Cxyz (рис. 3.1). Ось СХ направлена от кормы к носу корабля, ось CZ –к его правому борту, а ось CY образует с ними правую систему координат (вертикально вверх). Положение подвижной системы координат Cxyz, неизменно связанной с кораблем, относительно неподвижной CXYZ для каждого момента времени определяется тремя углами Крылова: углом дифферента
Рис. 3.2 Как видно на рис. 3.2, плоскость CXY пересекает плоскость Cxy по некоторой прямой Для совмещения системы CXYZ с системой Cxyz достаточно: 1) повернуть систему CXYZ вокруг третьей из координатных осей CZ на угол дифферента
Рис. 3.3
2) повернуть систему
Рис. 3.4 3) повернуть систему
Рис. 3.5
Формулы преобразования координат связаны следующими соотношениями: 1) от CXYZ к X = x 1 cos y - y 1 sin y + 0, Y = x 1 sin y + y1 cos y + 0, (3.1) Z = 0 + 0 + z1 , или в матричной форме: [ X ] ={ a3y}т [ x 1], или где
2) от системы x 1 = x 2 + 0 + 0, y 1 = 0 + y 2 z 1 = 0 + y 2 или в матричной форме [ x 1] = где
3) от системы координат x 2 = x cos j + 0 + z sin j, y 2 = 0 + y + 0, (3.7) z 2 = - x sin j + 0 + z cos j, или в матричной форме [ x 2]=
Причем поворотная матрица {a2j }т – это матрица, транспонированная к матрице { a2j }, задающей преобразование поворота от осей системы
Для любой точки М тела с координатами x, y, z в подвижной системе координат, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X, Y, Z – в неподвижной системе координат можно установить взаимосвязь проекций вектора точки
или в матричном виде
где углы Крылова являются некоторыми функциями времени: угол дифферента Матрица Подставляя в (3.2) соотношения (3.5) и (3.8), получаем:
Сравнивая (3.11) и (3.12), находим, что искомая матрица
=
Подставляя в (3.2) соотношение (3.5), получаем промежуточное соотношение, которое может понадобиться в дальнейшем, [ X ] =
=
Углы Эйлера
В тех случаях, когда угловая скорость вращения в одном направлении значительно больше, чем в двух других (генераторы, моторы, турбины, гироскопы), для определения положения тела в качестве трех независимых параметров выбирают три угла Эйлера: угол прецессии y (t), угол нутацииq (t) и угол ротации (собственного вращения) j (t). Их названия заимствованы из астрономии. Чтобы задать эти углы, рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки О. Пусть даны некоторая система отсчета и связанная с ней неподвижная система координат ОXYZ, относительно которой движется твердое тело, и связанная с твердым телом система координат Оxyz, которая движется относительно первой (рис. 3.6 … 3.8). Это означает, что первая и вторая системы координат имеют общее начало O, а углы, образуемые осями Оxyz с осями ОXYZ, изменяются, т.е. система Оxyz
Рис. 3.6
Рис. 3.7 Плоскость ОXZ (заштрихованный овал) пересекает плоскость Оxz (белый овал) по некоторой (рис. 3.8) прямой Оz (1) = Оz (2) = OE, образующей угол y с неподвижной осью ОZ, и угол j с подвижной осью Оz, которая называется «линией узлов» ОЕ с единичным ортом
Рис. 3.8
Неподвижная ось ОY,вокруг которойповорачивается твердое тело на угол прецессииy, называется осью прецессии с единичным ортом Изменение угла нутацииq сопровождается вращением твердого тела вокруг линии узлов Оz 1 = Оz 2 = OE, называемой осью нутации. Наконец, угол ротации (собственного вращения)j характеризует вращение тела вокруг оси Oy = Oy 2, называемой осью ротации (собственного вращения) с единичным ортом На рис 3.6 … 3.8 все углы положительные, т.е. против хода часовой стрелки, если смотреть на поворот тела с положительных направлений осей вращения OY, OE и Oy. Движение твердого тела в любой момент времени полностью определяется положением подвижной связанной с твердым телом системы координат Оxyz относительно неподвижной системы координат ОXYZ, т.е. заданием кинематических уравнений вращения тела вокруг неподвижной точки О: угла прецессии
3.3.Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы
Для любой точки М тела с координатами x, y, z в подвижной системе координат Оxyz, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X, Y, Z в неподвижной системе координат ОXYZ в соответствии с (3.10), взаимосвязь проекций вектора точки
или где Переход от осей системы[ X ]н к осям системы [ x 1] осуществляется поворотом на угол прецессии ψвокруг неподвижной OY – оси прецессии системы [ X ]н (рис. 3.9 … 3.11). Переход от осей системы[ x 1] к осям системы[ x 2] осуществляется поворотом на уголнутации θ вокруг оси
Рис. 3.9
Переход от осей системы [ x 2] к осям системы[ x ]п– поворотом на уголротации (собственного вращения) φвокруг оси
а б в
Рис. 3.10
Формулы преобразования координат получаем, рассмотрев переход от системы ОXYZ ([ X ]н) к системе Оxyz ([ x ]п), выполненный с помощью трех поворотов: 1. Поворота системы ОXYZ вокруг второй из координатных осей ОY на угол прецессии ψ, т.е. [ X ]н®[ x 1], ОXYZ ® X = x 1 cos y + 0 + z 1 sin y, Y = 0 + y 1 + 0, Z = - x 1 sin y + 0 + z 1 cos y, или в матричной форме [ X ] ={a2y} т [ x 1], (3.16) где поворотная матрица {a2y} т = описывает поворот вокруг второй оси ОY на угол прецессии ψ.
а б
Рис. 3.11
2. Поворота системы Формулы преобразования координат, как видно из рис. 3.11, б, при этом таковы: x 1 = x 2 cos q - y 2 sin q + 0, y 1 = x 2 sin q + y 2 cos q + 0, z 1 = 0 + 0 + z 2, или в матричной форме [ x 1] = {a3q } т [ x 2], (3.18) где матрица {a3q } т = описывает поворот вокруг оси 0z 1 на угол нутации q. 3. Поворота системы x (2) = x cos j + 0 + z sin j, y (2) = 0 + y + 0, z (2) = - x sin j + 0 + z cos j, или в матричной форме [ x 2 ] = { a2j }т [ x ], (3.20) поворотная матрица { a2j }т аналогична (3.17) {a2y} т: {a2φ} т = Подставляя в (3.16) соотношение (3.18), получаем промежуточную формулу преобразования координат, которая может понадобиться в дальнейшем [ X ] ={a2y} т {a3q} т [ x (2)], (3.22) где промежуточная поворотная матрица {a2y,3q }т находится как произведение двух матриц поворота, { a2y,3q }т = { a2y}т {a3q } т = = = Подставим в (3.16) формулы (3.18) и (3.20): [ X ] ={a2y} т {a3q} т {a2j }т [ x ]. (3.24) Сравнивая выражения (3.15) и (3.24), находим, что искомая поворотная матрица {ay,q,j } т = =
При заданном законе сферического движения выражения (3.15) и (3.25) позволяют определить искомый закон движения и траекторию выбранной точки твердого тела. 3.4. Мгновенная угловая скорость и угловое ускорение. Твердое тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых с использованием углов Эйлера имеют вид:
Здесь
Рис. 3.12
Ось, совпадающая с вектором Мгновенная угловая скорость меняется с течением времени как по величине, так и по направлению. Это изменение определяетсяпроизводной по времени от угловой скорости и называется мгновенным угловым ускорением
или
Рис. 3.13
Алгебраические величины проекций
Согласно (3.26),
Разложение единичного вектора
Единичный вектор
Подставляя (3.29), (3.30) в соотношение (3.26), получаем
Таким образом, искомые проекции вектора угловой скорости на оси подвижной (связанной с телом) системы координат будут равны
Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера. Они устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости тела
|
|||||||||||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; просмотров: 953; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 216.73.217.128 (0.008 с.) |
, углом крена 
, углом рыскания 
(рис. 3.2).
, образующей угол 
вокруг первой из координатных осей 
на угол крена 
, при этом 
(рис. 3.4);
вокруг второй из координатных осей 
на угол рыскания 
(рис. 3.3)
, (3.2)
- матрица, транспонированная к матрице 
, описывающей поворот системы CXYZ вокруг третьей координатной оси СZ на угол дифферента y,
; (3.3)
- z 2 
, (3.4)
[ x 2], или 
, (3.5)
, задающей преобразование поворота от осей системы 
на угол крена 
,
; (3.6)
[ x ], или
. (3.8)
= 
, имеет вид
. (3.9)
на оси двух систем координат,
, (3.10)
или 
, (3.11)
,угол крена 
,угол рыскания 
.
транспонирована к матрице направляющих косинусов 
, задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы CXYZ к осям подвижной системы Cxyz, неизменно связанной с кораблем. Очевидно, что при движении тела координаты x, y, z остаются постоянными в отличие от координат X, Y, Z.
. (3.12)
является произведением трех поворотных матриц
=
.(3.13)
= 
(3.13 a)
. Кроме того, плоскость Оxz образует с плоскостью ОXZ угол q, равный углу между осями ОY и Оy.
.
.
и угларотации (собственного вращении) 
на оси двух систем координат [ X ]н и [ x ]п имеет вид
, (3.14)
, (3.15)
- матрица, транспонированная к матрице направляющих косинусов 
,задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы OXYZ (с базисом [ X ]н)к осям подвижной системы Оxyz (с базисом [ x ]п ), неизменно связанной с телом. Транспонированная матрица 
системы [ x 1] (рис. 3.5 … 3.11, б).
системы[ x 2] .
, причем 
(рис. 3.9 … 3.11, а). Координаты систем координат ОXYZ и 
(3.17)
, при этом 
(рис. 3.7,3.9, 3.11, б).
(3.19)
на уголротации (собственного вращения) φ,т.е.[ x 2]®[ x ]п(рис. 3.7, 3.9 … 3.11, а), 
. (3.21)
.
=(3.25)
– вектор угловой скорости прецессии;
– вектор угловой скорости нутации;
– вектор угловой скорости ротации (собственного вращения).
– единичные орты осей вращения OY, OE, Oy соответственно (рис. 3.8, 3.12). Поскольку названные оси пересекаются в точке О,тоабсолютное движение тела в каждый момент времени есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения вышеназванных осей с мгновенной угловой скоростью 
, равной геометрической сумме векторов угловых скоростей составляющих:
. (3.26)
твердого тела вокруг неподвижной точки О. Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.
тела:
, (3.27)
, где 
– составляющая 
– составляющая 
). Вектор мгновенного углового ускорения 
вектора 
соответственно,
. (3.28)
по базису [ x ]п, как следует из формул (3.15) и (3.25), таково:
. (3.29)
, как следует из (3.20) и (3.21), можно представить в виде
. (3.30)
или 
(3.31)
и их первыми производными по времени.
