Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 20Следующая ⇒

Модели бывают статистическими и логико-математическими, основанными на уравнениях, с той или иной степенью точности описывающих влияние разных факторов на изучаемый объект, явление или процесс. Логико-математические мо­дели делятся на три класса: 1) модели с сосредоточенными параметрами; 2) модели с сосредоточенно-распределенными параметрами, т. е. переходные; 3) модели с распределенными параметрами, основанные на дифференциальных уравнениях в частных производных.

В классе моделей с сосредоточенными параметрами выделяются системные модели типов: а) «черный ящик», т. е. модели типа «вход - выход»; б) системно-физические или концептуальные модели типа «серый ящик», т. е. модели, частич­но учитывающие физику процессов, частично построенные по типу «черного ящика»; в) физические непрерывные модели, т. е. модели, целиком построенные на учете физики явления.

Математическая модель с сосредоточенными параметрами - это модель системы, поведение которой описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Данная модель включает в себя переменные, которые зависят только от вре­мени и не зависят от координат. Математическая модель с сосредоточенными па­раметрами имеет вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) - это дифференци­альное уравнение вида, где x(t) - неизвестная функция (возможно, вектор-функция: в таком случае часто говорят о системе ОДУ), зави­сящая от переменной t (штрих означает дифференцирование по t). Число n назы­вается порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется n раз дифференци­руемая функция x(t), удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области

определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие, например: потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение.

Пример. Одно из простейших применений дифференциальных уравнений -решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проек­циям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона ускоре­ние тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифферен­циальное уравнение имеет вид mx = F(x,t). Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки.

Пример. Дифференциальное уравнение = у (вместе с начальным условием у(0) =1) задает экспоненту: у(х) = . Если х обозначает время, то эта функция описывает рост популяции в условиях неограниченности ресурсов.

Математическая модель с распределенными параметрами - модель сис­темы, описываемая дифференциальными уравнениями в частных производных.

Модель содержит переменные, зависящие от пространственных координат, и представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производ­ных или систему интегро-дифференциальных уравнений. Важной характери­стикой дифференциальных уравнений является их порядок, т. е. порядок старшей производной, которая входит в эти уравнения.

Пример. Одномерное уравнение теплопроводности, описывающее распро­странение тепла в однородном стержне, имеет вид , где u(t, х) - темпе­ратура, а- положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом: u(0,x) = f(x), где f(x) - произ­вольная функция.

Пример. Уравнение колебания струны. Данное уравнение имеет вид:

. Здесь u(t, x) - смещение струны из положения равновесия, или из­быточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в тру­бе, а с - скорость распространения волны. Для того чтобы решить задачу Коши, в начальный момент времени следует задать смещение и скорость струны в началь­ный момент времени: u(0, x) = f (х),

Если модель включает обыкновенные дифференциальные уравнения (кото­рые имеют место в распределенных статических моделях, в динамических моде­лях с сосредоточенными параметрами) или дифференциальные уравнения в част­ных производных (которые имеют место в распределенных динамических моделях с одной или более независимой переменной), то это еще не значит, что поставлен­ная задача решена. Для решения необходимы дополнительные условия: началь­ные - для динамических проблем с производными относительно времени, гранич­ные - для проблем с производными относительно пространственных координат. Дифференциальные уравнения, представляющие собой модель, обычно сводятся к разностным уравнениям, удобным для численного решения на ЭВМ. В этом слу­чае проблема сводится к решению алгебраических уравнений.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте