Понятие динамической системы

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 20Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Динамическими системами называют класс задач, представленных зада­чами Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или систем таких уравнений.

Теория динамических систем и специфические численные методы наиболее развиты для динамических систем, описываемых ОДУ (более простые уравнения).

Задача Коши для системы состоит в отыскании неиз-

вестной векторной функции y(t), включающей несколько (L) неизвестных функ­ций , для начального условия у(0) = С.

Соответственно числу компонент векторной функции y(t) должно быть по­ставлено L начальных условий. Исходя из физического смысла такой постановки задачи можно, не теряя общности, полагать, что дифференциальные уравнения содержат производные по аргументу t, являющемуся временем, и, соответственно, описывают динамику во времени различных физических параметров y(t). Поэтому задачи Коши для таких моделей называют динамическими системами, а для их изучения центральным моментом является анализ фазовых портретов, т. е. реше­ний, получающихся при выборе всевозможных начальных условий.

Решения обыкновенных дифференциальных уравнений часто удобнее изо­бражать не в привычном виде , а в фазовом пространстве, по осям ко­торого откладываются значения каждой из найденных функций. При этом аргу­мент t входит в графики лишь параметрически (см. рис. 1).

В случае двух ОДУ такой график - фазовый портрет системы – является кривой на фазовой плоскости и поэтому особенно нагляден. В общем случае, если система состоит из N ОДУ, фазовое пространство является N-мерным. При N > 3 наглядность теряется, и для визуализации фазового портрета приходится строить его различные проекции. Наиболее просты примеры исключительно линейных уравнений, т. е. содержащих только первую степень неизвестных функций и их производных, как, к примеру, модель линейного гармонического осциллято­ра. Линейные дифференциальные уравнения легко решаются аналитически, а не­обходимость применения численных методов возникает, когда число таких урав­нений в системе ОДУ очень велико.,

Классические примеры моделей динамических систем, описываемых систе­мами ОДУ: нелинейный осциллятор, динамика популяций (Вольтерра), электрон­ный генератор автоколебаний (Ван дер Поля), турбулентная конвекция жидкости (Лоренца), химическая реакция с диффузией (Пригожина). Все примеры являются типичными динамическими системами и содержат производные по времени t, описывая динамику различных физических параметров.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США