Принцип соответствия между классической и квантовой физикой

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 13Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Важно подчеркнуть, что теория Бора является не только теорией атома водорода, но и теорией взаимодействия электромагнитного излучения с атомом, т.к. важные черты этого взаимодействия описываются 2 и 3 постулатами Бора. Дальнейшее развитие теории взаимодействия излучения с атомами может быть осуществлено, не прибегая к последовательному квантово-электродинамическому формализму, а используя так называемый принцип соответствия в духе полуклассического подхода Бора. Отправной точкой такого рассмотрения является выражение для мощности дипольного излучения, известное из классической электродинамики. Оно имеет вид

, (3.22)

где

(3.23)

–– дипольный момент частицы с зарядом , под которой в дальнейшем будем понимать электрон. Две точки над символом дипольного момента в формуле (3.22) обозначают вторую производную по времени. Критерий применимости дипольного приближения, в рамках которого получена формула (3.22), может быть сформулирован в виде неравенства

, (3.24)

где а –– размер области пространства, ответственной за излучение, –– длина волны излучения. В случае атома, когда , условие (3.24) охватывает широкий диапазон длин волн вплоть до жесткого рентгеновского излучения.

Вторая производная по времени от дипольного момента, фигурирующая в правой части равенства (3.22), элементарно выражается через ускорение электрона : . С учетом этого формула (3.22) перепишется в виде

. (3.25)

Таким образом, в рамках классической физики ускоренно движущаяся заряженная частица будет терять свою энергию на дипольное излучение со скоростью, определяемой формулой (3.25). Заметим, что потеря энергии зарядом, находящимся в кулоновском поле, приводит не к уменьшению, а к увеличению его кинетической энергии. Это видно и из квантовых формул (3.10) –– (3.12). Увеличение кинетической энергии заряда сопровождается в два раза большим уменьшением его потенциальной энергии (см. формулу (3.13)), что связано с уменьшением расстояния до центра кулоновского поля. В результате полная энергия электрона уменьшается.

В случае периодического движения заряда с круговой частотой , как это имеет место с атомным электроном, представляет интерес мощность излучения, усредненная по периоду движения . Для того чтобы произвести это усреднение в формуле (3.22), воспользуемся следующим равенством, справедливым для действительной периодической функции :

, (3.26)

где

(3.27)

–– n -я гармоника разложения в ряд Фурье функции . При выводе формулы (3.26) было предположено, что среднее по периоду от рассматриваемой функции равно нулю, т.е. . Заметим, что коэффициент 2 в правой части равенства (3.26) связан с учетом вклада отрицательных гармоник ряда Фурье ().

Пользуясь равенством (3.26), в котором положено , для усредненной по периоду мощности дипольного излучения получаем из (3.22) следующее выражение:

, (3.28)

где

. (3.29)

С учетом того, что

(3.30)

из формулы (3.29) находим

. (3.31)

Формула (3.31) описывает мощность дипольного излучения на частоте n -й гармоники . В частности, мощность излучения на частоте периодического движения электрона (n = 1) равна:

. (3.32)

Здесь мы переобозначили 1-ю Фурье-гармонику дипольного момента: .

Заменим теперь в формуле (3.32) Фурье-гармонику дипольного момента на его матричный элемент, вычисленный между состояниями и ( –– волновые функции этих состояний):

, (3.33)

а частоту периодического движения на частоту перехода :

. (3.34)

В результате вместо формулы (3.32) получим

. (3.35)

Величина (3.35) может быть названа мощностью электромагнитного излучения при переходе атомного электрона из стационарного состояния в стационарное состояние . Она описывает интенсивность излучения различных спектральных серий атома водорода: Лаймана (m = 1), Бальмера (m = 2), Пашена (m = 3) и т. д. Надо, однако, иметь в виду, что, в отличие от классической мощности излучения (3.22), величину (3.35) нужно понимать в статистическом смысле, т.е. как результат усреднения по ансамблю атомов.

Если теперь мощность излучения (3.35) разделить на энергию рассматриваемого перехода , то получим величину, имеющую размерность обратного времени, которая совпадает с коэффициентом Эйнштейна для спонтанного излучения :

. (3.36)

В последнем равенстве формулы (3.36) введено время жизни состояния по отношению к его спонтанному распаду с переходом в нижележащее состояние . Это время для перехода в атоме водорода равно: .

Таким образом, использование формулы классической электродинамики (3.22) и замен (3.33) –– (3.34) позволили получить квантовый результат для мощности излучения спектральных линий (3.35) и вероятности спонтанного излучения (3.36). Это обстоятельство является отражением принципа соответствия между классической и квантовой физикой. Данный принцип может быть сформулирован следующим образом. Квантово-механические выражения получаются из классических, если в последних Фурье-компоненты физических величин заменить на матричные элементы этих величин. Причем частота квантового перехода должна совпадать с частотой Фурье-компоненты.

Любопытно отметить, что наличие конечного времени жизни возбужденного состояния может быть интерпретировано в духе принципа соответствия, как «падение» электрона на ядро за счет излучения фотонов –– тот самый процесс, против которого «борется» второй постулат Бора. Это «падение» продолжается до тех пор, пока электрон не достигнет основного состояния , обладающего наименьшей возможной с точки зрения квантовой физики энергией.

Чтобы выяснить физическое обоснование 2-го постулата Бора, введем классический период вращения электрона на -орбите:

. (3.37)

При записи формулы (3.37) были использованы выражения (3.6), (3.7) и (3.9). Оценим теперь отношение периода (3.37) ко времени жизни . Пользуясь (3.36) –– (3.37) и полагая, что , где –– некоторая функция порядка и меньше единицы, приближенно имеем

, (3.38)

где для больших номеров (см. асимптотическую формулу в таблице 1). Второе приближенное равенство в (3.38) отражает тот факт, что время жизни возбужденного состояния атома водорода определяется его переходом в основное состояние.

Из полученного соотношения (3.38) следует, что период обращения электрона по классической орбите на несколько порядков величины меньше времени жизни в данном состоянии . Таким образом, эти состояния с хорошей степенью точности можно считать стационарными в соответствии с первыми двумя постулатами Бора. Эта стационарность есть следствие малой величины постоянной тонкой структуры , ответственной за электромагнитное взаимодействие.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры