Розподіл енергії в спектрів випромінювання абсолютно

Одним із найважливіших проявів взаємодії світла із речовиною, що розкриває квантову природу світла, а також має велике практичне значення, є так званий фотоелектричний ефект (фотоефект). Як відомо, фотоефект є результатом взаємодії фотонів світла з електронами речовини. Зокрема, в конденсованих системах (твердих тілах, рідинах) фотони спричинюють або вилітання електронів за межі тіл (зовнішній фотоефект), або ж перехід їх з однієї енергетичної зони в іншу (внутрішній фотоефект).

Явище фотоефекту відкрив Г. Герц у 1883 р. Він помітив, що електричний розряд між двома цинко­вими кульками відбувається швидше, якшо одну ізних освітити ультрафіолетовими променями. Проте фотоефект як самостійне фізичне явище був вивче­ний О. Г. Столєтовим у 1888–1890 рр.

Вже в перших дослідах із зарядженими металевими пластинками О. Г. Столєтов установив, що під впливом падаючих променів світла, переважно ультрафіолетового, тіло втрачає заряд, але тільки тоді, коли воно заряджене негативно; позитивний заряд тіла під дією світла не зменшується.

Досліди, проведені з пластинками різних металів засвідчували, що струм у колі з’являється тільки тоді, коли освітлюється катод; очевидно, носіями струму ставали вивільнені під дією світла електрони катода. Збільшення напруги між катодом і анодом спочатку призводило до збільшення фотоструму в колі (рис. 2.5), але після досягнення деякої напруги величина фотоструму переставала зростати і залишалася незалежною від напруги.

Рис. 2.5

Виникав струм насичення. Подальше збільшення сили струму можна було викликати лише підвищенням інтенсивності світла, що падало на катод. Струм насичення виражають через заряд електрона e і число електронів п,що вивільнюються з катода за одиницю часу:

. (2.26)

Отже, за величиною струму насичення можна було робити висновки про число електронів, що вивільнюються з катода за одиницю часу та про за­лежність їх числа від величини падаючого світлового потоку.

Досліди з чутливим приймачем засвідчили, що потік електронів від освітленого катода досягає анода і без прискорювальної напруги між ними. Щоб звести фотострум до нуля, довелося прикласти до електродів у приладі Столєтова деяку гальмівну напругу U₁ (див. рис. 2.5). Очевидно, електрони, що вивільнилися з катода під дією світла, діставали певну швидкість, яку можна було визначити за ве­личиною гальмівної напруги U₁ а саме:

(2.27)

де e і m – відповідно заряд і маса електрона.

Дослідження О. Г. Столєтова та інших учених привели до встановлення певних закономірностей фотоефекту.

1. Явище фотоефекту безінерційне, тобто з припиненням освітлення поверхні відразу ж припиняється виділення фотоелектронів; дослідження показали, що час між падінням світлової хвилі і виходом електронів з металу не перевищує 10^-8 с.

2. Число електронів, що вивільнюються світлом за 1 с (або величина фотоструму насичення), прямопропорційне величині світлового потоку, що падає на металеву поверхню але тільки при умові незмінності його спектрального складу.

3. Швидкість вилітаючих фотоелектронів тіла тим більша, чим більша частота хвилі падаючого світла, але вона не залежить від його інтенсивності.

4. Незалежно від інтенсивності світла, фотоефект починається тільки за цілком певної для даного металу мінімальної частоти світла; цю частоту називають «червоною межею» фотоефекту.

Головні закономірності фотоефекту неможливо було узгодити із основними положеннями хвильової теорії світла.

За теорією Ейнштейна, яка добре узгоджується із законами фотоефекту, світло є потоком окремих матеріальних частинок – фотонів. Ту обставину, що в більшості оптичних дослідів ми не виявляємо квантового характеру світла, пояснюють досить малою величиною енергії окремого фотона. Наприклад, енергія фотона зеленого світла

.

Виходячи із закону взаємозв’язку маси та енергії,

, (2.30)

за енергією фотона можна визначити його „рухому” масу:

. (2.31)

Оскільки за теорією відносності в разі наближення до швидкості світла маса має нескінченно зростати, а для фотона, що переміщується зі швидкістю світла, маса є скінченною величиною (2.31), то з цього випливає, що маса спокою фотона дорівнює нулю.

Маса фотона взагалі дуже мала. Наприклад, для видимого світла кг. Проте в жорстких рентгенівських променях маса фотона стає вже по­рівнянною з масою електрона кг, а в гамма-променях кг, тобто перевищує масу електрона.

За масою фотона m_ф та його швидкістю с знайдемо імпульс фотона:

(2.32)

Із формул (2.31) і (2.32) випливає, що чим більша частота випромінювання v, тим більші маса та імпульс фотона.

Як відомо, фотонна природа світла в теорії Ейн­штейна повністю узгоджуються із законами теплового випромінювання і підтверджується законами фотоефекту.

2.7. Хвильова природа частинок.

До Ісаака Ньютона (1643 – 1727 р.р.) всі вчені розглядали світло, як потік частинок, що швидко рухаються (корпускули). Але в 1801 р. Томас Юнг здійснив перші досліди по інтерференції світла і тим самим підвів тверду експериментальну основу під його хвильову природу. Але наступні досліди показали, що велика кількість фізичних властивостей твердих тіл, рідин і газів може бути пояснена на основі атомістичних уявлень, а експерименти Томаса і Лоренца (кінець ХІХ сторічча) привели до концепції про існуванні елементарної частинки електричного заряда – електрона. А Планк у 1900 р. показав, що джерела випромінюють енергію не неперервно, а окремими і кінцевими порціями – квантами. В 1923 р. Артур Комптон експериментально довів, що кванти рентгенівського випромінювання ведуть себе як частинки з певною енергією і певним імпульсом.

В 1924 р. Луї де Бройль (1892 – 1987 р. р.) висунув ідею, що якщо світло в багатьох випадках прявляє корпускулярні властивості, то частинки, наприклад, електрони, можуть мати хвильові властивості.

В 1927 р. ідеї де Бройля були експериментально підтверджені Девіссоном і Джермером, які показали, що для пучка електронів, як і для світлового пучка, спостерігається явище дифракції.

В 1929 р. німецький вчений Рупп виміряв довжину хвилі електронів.

В 1931 р. Джонсон продемонстрував дифракцію пучка молекул водню при розсіянні в кристалі.

В 1938 р. Естерман, Фріш і Штерн здійснили експеримент по дифракції пучка атомів гелію, тобто хвильова природа частинок була доведена. Але з іншого боку тільки хвильова природа часток не могла задовільно інтерпретувати такі експерименти як комптонівське розсіяння, явище фотоефекту, або той факт, що частинки не можуть рухатися зі

Рис. 2.6

швидкістю світла.

Нільс Бор ввів так званий принцип доповнювальності, згідно якого ні хвилі, ні частинки ніколи не проявляють одночасно в одному і тому ж експерименті і хвильові, і корпускулярні властивоті. Як виявилося в подальшому, подібний корпускулярно-хвильовий дуалізм властивий всім мікрочастинкам.

Розглянемо більш детально досліди, в яких чітко виявляються хвильові властивості частинок – досліди Девіссона і Джермера (амер. фізики, у 1927 р.). В них спостерігається дифракція електронів при розсіянні від кристала Ni.

Електрони, що випромінюються розжаренною ниткою А, прискорюючись різницею потенціалів U між ниткою А і електродом B, падають на кристал никелю Ni і розсіюються по всіх напрямках. Кутовий розподіл інтенсивності розсіяних електронів вимірюється за допомогою рухомого гальванометра G, при різних значеннях різниці потенціалів U. Виявляється, що при куті 2q=50^° і різниці потенціалів U=54 В спостерігається різкий максимум в діаграмі залежності I(q). Кут q визначається наступним чином: атомні поверхні, відстань між якими

D, розташовані перпендикулярно до площини рисунка (k – перпендикуляр до атомної площини, відповідно d – відстань між атомними площинами). Пучок падає перпендикулярно до поверхні кристала, але під кутом q до перпендикуляра k, коли кут розсіювання дорівнює 2q виникає різкий максимум,наявність якого можна пояснити тільки явищем інтерференції електронних хвиль, що дифрагували на правильно розташованих атомах кристала Ni. Якщо виміряти інтенсивність розсіяних промінів при заданому куті q, але при різних значеннях U, то отримаємо наступний результат: на різних відстанях один від одного з’являються максимуми, що задовільняють формулі Брегга-Вульфа

, (2.32)

де q - кут між падаючим промінем

і перпендикуляром до атомних площин кристала. Криві, наведених рисунків є типовими для розподілу інтенсивності при розсіянні хвиль, тобто частинки (електрони) проявляють в даному випадку чисто хвильові властивості. Наявність таких хвильових властивостей у частинок була передбачена де Бройлем у 1924 р. Розглянемо його гіпотезу. Для світлових квантів (фотонів) ми вже встановили зв’язок між

Рис.2.9

енергією і імпульсом, де , а релятивістська маса фотона визначається співвідношенням . Тоді для імпульса фотона

, (2.33)

тобто маємо зв’язок між імпульсом P і довжиною хвилі l фотона. Луї де Бройль переніс це поняття на динаміку любих частинок, у яких , і тоді

, (2.34)

визначає відповідну їм довжину хвилі де Бройля.

Повернемося до досліду Девіcсона і Джермера. Кінетична енергія Е_к прискорених електронів , а довжина хвилі відповідної хвилі де Бройля

. (2.35)

Різниця потенціалів U в дослідах Девіссона і Джермера повинна бути не менше 15-20 В, щоб енергія падаючих електронів була більше енергії хаотичного(теплового) руху електронів у металі. Розрахуємо по (4.15) l в даному досліді при U=54 В. Її значення буде ~ 1,6 Å, тобто близьке до l рентгенівського випромінювання, що пояснює добре співпадання результатів досліда по розсіянню рентгенівських промінів і електронів на тих самих кристалах. Як наслідок, висновок: всі мікрочастинки мають хвильові властивості, так що між ними і фотонами немає принципової різниці – і ті і інші мають одночасно як властивості частинок, так і хвильві властивості. Причому хвильові властивості особливо наглядно проявляються в процесі розповсюдження мікрочастинок, а корпускулярні – в процесі взаємодії. Неспостережуваність хвильових властивостей у макрооб’єктів зв’язана з їх надзвичайною малістю відносно розмірів об’єкта. Наприклад для порошинки масою 1 мг і швидкістю 1 м/с маємо довжину хвилі де Бройля:

см,

тобто ефект не спостерігається.

Властивості хвиль де Бройля.

Формула плоскої монохроматичної хвилі, що відповідає руху матеріальної частинки в загальному випадку має вигляд:

, (2.36)

де , а хвильовий вектор, напрямок якого співпадає з напрямком розповсюдження хвилі. Якщо в (4.16) замінити w через , а через тоді отримаємо

(2.37)

Рис. 2.10

Для фотона хвильова функція - світлова хвиля. Для частинки - плоска хвиля де Бройля. В квантовій механіці називають “псі-функцією”.Хвилі де Бройля розповсюджуються, диафрагують і інтерферують за звичайними оптичними законами. Слід відмітити, що в (4.17) фізичний зміст має не амплітуда хвильової функції , а її квадрат , як міра ймовірності знаходження фотона або частинки в заданій точці простору в даний момент часу. Приклад своєрідності властивостей мікро-частинок в наступному уявному експерименті:

На дві щілини падає паралельний потік моноенергетичних електронів і після їх проходження попадає на фотопластинку. Якщо закрита 1-а щілина, то на фотопластинці буде почорніння, що визначається кривою 2, а якщо закрита 2-а, то – кривою 1. При відкритті обох щілин мала би бути їх сума, якщо не враховувати своєрідні особливості мікрочастинок, а реально виникає чисто інтерференційна картина для когерентних світлових хвиль. При проходженні окремих електронів картина не змінюється, тобто кожний електрон проявляє притаманні йому хвильові властивоті.

1. Розглянемо співвідношення для швидкості розповсюдження хвиль де Бройля.

· Фазова швидкість – власна швидкість розповсюдження монохроматичної хвилі (її фази)

;

, (2.38)

так як с>υ, то фазова швидкість хвиль де Бройля більша швидкості світла в вакуумі (для частинок). Але тут протиріччя нема, так як фазова швидкість не характеризує ні швидкість переміщення сигнала, ні швидкість переміщення енергії. Для фотона , тобто співпадає.

· Групова швидкість – швидкість розповсюдження максимума амплітуди групи хвиль, отриманого в результаті їх суперпозиції.

Нехай ми визначаємо положення частинки в момент t₀ з точністю Δx, тобто частинка знаходиться між x₀ і x₀+Δx. З точки зору хвильової (квантової) теорії це означає, що хвильва функція Ψ(х) не дорівнює нулю тільки на ділянці (x₀ ÷ x₀+Δx). Така функція не являється однією монохроматичною хвилею де Бройля, а представляє собою сукупність таких хвиль, що при накладанні дають один різкий максимум – хвильовий пакет. Швидкість руху хвильового пакета (швидкість переміщення максимума Ψ(х)) дорівнює груповій швидкості хвилі і визначається за формулою

враховуючи, що , маємо , тоді

тобто групова швидкість хвиль де Бройля дійсно дорівнює швидкості частинок.

2. На довжині орбіти воднеподібного атома укладається ціле число хвиль де Бройля

де λ – довжина хвилі де Бройля, де n=1, 2, 3,...

Ця властивість розповсюджується і на еліптичні орбіти.

2.9. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга (1901 – 1976)

Рис. 2.12

Наявність хвильових властивостей у мікрочастинок накладає деякі обмеження на точність одночасного визначення імпульса і координат частинки в даний момент часу. Розглянемо спробу експериментального їх визначення, оцінюючи ймовірність попадання електронів, що пройшли вузьку і довгу щілину, в те чи інше місце фотопластинки. На фотопластинці буде спостерігатися дифракційна картина. Нехай до щілини у електронів буде імпульс .

Електрони, що пройшли крізь щілину, мають

змінений імпульс . Оцінемо зміну імпульса по вісі х, тобто ΔР_х, визначивши кутову відстань від максимума до першого мінімума дифракційної картини, як міру розходження хвилі (напрямок на перший мінімум)

, (2.39)

де – ширина щілини, λ – довжина хвилі де Бройля.

, (2.40)

але , тоді , з врахуванням що , маємо

(2.41)

Співвідношення (4.22), яке виведено для хвильової функції електрона при розсіюванні на щілині, має загальне застосування і носить назву співвідношення невизначеностей Гейзенберга. Якщо врахувати наявність побічних максимумів у досліді, то . Дане співвідношення невизначеностей можна записати через енергію і час, враховуючи, що , тоді і

(2.42)

Слід відзначити, що вказане співвідношення має фундаментальне значення у природі і відноситься до багатьох явищ і процесів.

2. 10. Рівняння Шредінга (1887 – 1961, (австр. фізик)

В 1926 р. Шредінгер, виходячи з ідеї де Бройля про хвильові властивості мікрочасток розробив теорію їх руху – хвильову механіку, в основу якої покладено рівняння Шредінгера, що відіграє в атомних процесах таку саму фундаментальну роль, як і закон Ньютона в класичній механиці. Шредінгер, руху мікрочастинки поставив у відповідність комплексну функцію координат і часу, яка відома нам як хвильова функція або “псі-функція”, вид якої одержується із рішення рівняння Шредінгера наступного типу:

, (2.43)

де m – маса частинок, Δ – оператор Лапласа, U – функція часу і координат. У цьому рівнянні . При русі частинки в стаціонарному силовому полі, функція U не залежить явно від часу і має зміст потенціальної енергії. В такому випадку Ψ-функцію можна отримати з більш простого рівняння:

, (2.44)

де Е – повна енергія частинки (). (2.45) називаається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів, його частіше записують у вигляді:

. (2.46)

Рівняння Шредінгера являється основним рівнянням і не виводиться з яких-небудь міркувань, справедливість його доводиться тим, що всі наслідки, що витікають з нього точно узгоджуються з дослідними фактами. Розглянемо, як можна не вивести, а прийти до рівняння Шредінгера на прикладі одномірного випадку руху частинки, що рухається вільно і якій ми співставляємо по Луї де Бройлю плоску хвилю типа (2.47)

, (2.47)

Якщо продиференціювати (4.17) один раз по t, а другий раз двічі по х, то отримаємо

,

звідси

, . (2.48)

У нерелятивістській класичній механиці маємо зв’язок між W_k (кінетичною енергією) і P(імпульсом) у вигляді , підставляючи сюди вираз для E і P з (2.48) отримаємо після скорочення на Ψ рівняння:

, (2.49)

яке співпадає з рівнянням (2.43) при U=0. При русі частинки в силовому полі, що характеризується потенціальною енергією U, повна енергія () і її імпульс Р зв’язаний з кінетичною енергією співвідношенням , підставивши в цей вираз E і P з (4.27), отримаємо:

. (2.50)

Множемо (2.50) на Ψ і переносимо доданок в ліву частину. Отримаємо рівняння:

, (2.51)

яке співпідає з (2.43).

Якщо в рівнянні (2.44) функцію U розглядати як оператор

(оператор – це правило, за допомогою якого одній функції ставиться у відповідність інша функція)

і ввести інший оператор , рівний сумі операторів () і U, тоді рівнянню (2.51) можна придати вигляд:

, (2.52)

де оператор називають гамільтоніаном, який являється оператором енергії.

· Зміст Ψ-функції.

Правильну інтрепрітацію Ψ-функції дав М. Борн (нім. фізик, 1882 – 1970) у 1926 р. Згідно Борну квадрат модуля Ψ-функції визначає густину ймовірності, тобто ймовірність віднесену до одиниці об’єму, виявлення частинки в відповідному місті простору в даний момент часу. Якщо густина ймовірності відмінна від нуля в обмеженому об’ємі dV, тоді інтеграл від добутку Ψ-функції на її комплексно-спряжену по даному об’єму має дорівнювати 1:

. (2.53)

Умова (2.53) називається умовою нормування, а Ψ-функції, що задовільняють даній умові – нормованими. Отже, квантова механіка має чисто статистичний характер і дає можливість передбачати ймовірність виявлення частинки в різних точках простору.

2.11. Найпростіші приклади розв”язків рівняння Шредінгера

У рівняння Шредінгера в якості параметра входить повна енергія частинки Е. В теорії диференціальних рівнянь доводиться, що рівняння типу мають рішення не при любих значеннях Е, а тільки при деяких вибраних, що називаються власними значеннями даного параметра. Рішення, що відповідають власним значенням Е, називаються власними функціями даної задачі. Знайдем власне значення енергії Е і власні функції, що їм відповідають, для декількох задач.

1. Частинка в одномірній потенціальній ямі.

Рис. 2.13