Ранг, дефект линейного оператора.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 15Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Образ нуля равен нулю. Действительно, , отсюда .

Множество векторов из W, образ которых равен 0, называется ядром линейного оператора. Ядро линейного преобразования обозначим (). Ядро является подпространством W (докажите) и его размерность называют дефектом и обозначают .

Множество всех образов векторов из W обозначают (). Множество образов является подпространством V (докажите), его размерность называют рангом линейного оператора и обозначают .

Теорема 6.21. .

Доказательство. Пусть – базис . По определению для каждого вектора существует прообраз из W. Система векторов является линейно независимой. Действительно, из равенства , выводим , или

. В силу линейной независимости, все коэффициенты равны 0, и система является линейно независимой. Аналогично показывается, что пересечение линейной оболочки векторов и состоит только из нулевого вектора. Действительно, из включения , выводим , и далее, . Для любого вектора x из W найдутся коэффициенты, что , и . Таким образом W представляется в виде прямой суммы линейной оболочки векторов и . Теорема вытекает из свойства прямой суммы.

Следствие 6.15. Можно выбрать базисы в пространствах W и V так, чтобы матрица линейного оператора имела диагональный вид, причем по диагонали расположены 1 и 0. Количество ненулевых элементов на диагонали равно рангу оператора.

Доказательство. Пусть и имеют тот же смысл, что и в доказательстве предыдущей теоремы. Дополним векторы до базиса V, а векторы до базиса W векторами из . Полученные базисы обозначим через и , соответственно. Построим матрицу линейного оператора в этих базисах. Заметим, , а координаты вектора в базисе равны (0,…,0,1,0,…,0), где 1 стоит на i -ом месте. Таким образом, матрица линейного оператора в этих базисах имеет диагональный вид, причем по диагонали расположены 1 и 0. Количество 1 равно рангу оператора.

7 Линейное преобразование

7.1 Линейное преобразование. Его матрица

Однозначное отображение линейного пространства V над числовым полем P в себя называется линейным преобразованием, если оно сохраняет линейность, то есть для любых и .

Линейное преобразование полностью определяется своими значениями на базисных векторах. Действительно, пусть базис V. Вектор x разложим по базису , где - координаты вектора x. По свойству линейного преобразования имеем . Перейдем в последнем равенстве от равенства векторов к равенству их координат , которое можно записать используя матричное умножение следующим образом . Матрица называется матрицей линейного преобразования и обозначается . Матрица линейного преобразования связывает координаты образа с координатами исходного вектора .

7.2 Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.

Поскольку линейное преобразование частный случай линейного оператора, то можно воспользоваться полученной ранее формулой , где P – матрица перехода. Матрицы A и B называются подобными, если существует невырожденная матрица P, что . Вопрос о подобии матриц сводится к решению системы линейных уравнений , где в роли неизвестных выступают элементы матрицы P, с дополнительным нелинейным условием .

7.3 Алгебра линейных преобразований.

На множестве всех линейных преобразований пространства V расмотрим операции:

1. Умножение на число: .

2. Сложение (вычитание)

3. Умножение .

Легко проверить линейность всех этих преобразований и вывести следующие формулы, связывающие их матрицы

1.

2.

3.

Линейное преобразование, переводящее каждый вектор в себя, называется тождественным преобразованием и обозначается . В любом базисе матрица тождественного преобразования равна единичной.

Пусть - некоторый многочлен, - линейное преобразование пространства V. Сопоставим многочлену линейное преобразование . Будем говорить, что преобразование получено подстановкой в многочлен . Матрица может быть вычислена по формуле .

Свойство 7.14. Пусть . Тогда .

7.4 Инвариантные пространства

Подпространство W называется инвариантным относительно линейного преобразования , если для любого x из W его образ также принадлежит W.

Свойство 7.15. - инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть . Тогда .

Свойство 7.16. - инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть , тогда .

Свойство 7.17. Пусть - многочлен, тогда инвариантное пространство относительно .

Доказательство. Пусть , то есть . Далее, , то есть .

Свойство 7.18. Пусть - многочлен, тогда инвариантное пространство относительно .

Доказательство. Пусть , тогда . Далее, , то есть .

Знание инвариантных подпространств позволяет найти базис пространства, в котором матрица линейного преобразования имеет простую структуру. Действительно, пусть базис инвариантного подпространства W. Дополним его до базиса всего пространства векторами . Координаты образов первых k векторов могут иметь только k первых ненулевых компонент. Следовательно, в матрице линейного преобразования содержится в левом нижнем углу блок размером (n - k)* k, состоящий из одних нулей.

Если пространство V представляется в виде прямой суммы инвариантных подпространств W и U, то построим базис пространства V, объединив базисы W и U. В построенном базисе матрица линейного преобразования будет иметь блочно диагональный вид.

Таким образом, структура матрицы линейного преобразования имеет тем более простой вид, чем меньше размерность инвариантных подпространств, в прямую сумму которых расщепляется исходное пространство V.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману