Геометрия на плоскости и в пространстве.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 15Следующая ⇒

Геометрия на плоскости и в пространстве.

Целью данного раздела состоит в рассмотрении таких геометрических понятий как расстояние, площадь, объём с последующим обобщением этих понятий и их переносом на произвольные линейные пространства.

Скалярное произведение.

Определение 1.1. Скалярным произведением геометрических векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов обозначают .

Из определения следует, что длина вектора равна .

Приведём свойства скалярного произведения.

1. . Симметричность

2. Линейность

3.

В доказательстве нуждается только третье равенство. Если c=0, то равенство очевидно. Пусть . Проекция вектора b на c равна .

Из равенства и приведённой выше формулы выводим . Приравняем коэффициенты при векторе c в левой и правой частях равенства и умножим на квадрат длины вектора c, получим свойство 3.

Задание длин векторов определяет скалярное произведение. Действительно, из свойств скалярного произведения выводим равенство , которое перепишем в виде

. Таким образом, задание длин векторов равносильно заданию скалярного произведения и наоборот.

Выразим скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов. Пусть - базис пространства векторов, и , - разложения векторов a,b по этому базису. Тогда по свойствам скалярного произведения выводим . Обозначим через матрицу Грамма от векторов , составленную из скалярных произведений этих векторов, через - координаты вектора a в базисе f. В этих обозначениях скалярное произведение можно записать с помощью матричных операций следующим образом .

Векторы называются ортогональными (перпендикулярными) если угол между ними равен . Условие ортогональности векторов равносильно равенству нулю их скалярного произведения.

Базис называется ортогональным, если базисные векторы попарно ортогональны. Матрица Грамма ортогональной системы векторов – диагональная. Выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортогональном базисе принимает более простой вид, а именно, .

В ортогональном базисе скалярное произведение вектора a на базисный вектор равно , то есть, координаты вектора a находятся по формулам .

Ортогональный базис , в котором длина каждого базисного вектора равна 1, называется ортонормированным. В ортонормированном базисе координаты вектора x определяются по формулам , а скалярное произведение векторов равно .

Ортогональность.

Определение 2.2. Векторы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

Теорема 2.1 (Пифагора). Пусть векторы x и y ортогональны, тогда .

Доказательство. , т.к. в силу ортогональности.

Теорема 2.2 (неравенство Бесселя). Пусть векторы x и y ортогональны, тогда .

Доказательство. По теореме Пифагора . Поскольку , то , что и требовалось.

Теорема 2.3 (неравенство Коши-Буняковского-Шварца). .

Доказательство. Для любого a справедливо неравенство . Раскроем левую часть . В левой части неравенства записан квадратный трехчлен. Выделим из него полный квадрат . Положив получим неравенство из которого вытекает . Извлекая квадратный корень, получаем требуемое.

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца позволяет ввести угол между векторами, то есть косинус угла равен отношению .

Определение 2.3 Система векторов называется ортогональной, если каждая пара векторов из этой системе ортогональна.

Свойство 2.6. Ортогональная система векторов линейно не зависима.

Доказательство. Пусть - ортогональная система векторов и . Тогда . Таким образом и система векторов линейно независима.

Свойство 2.7. Матрица Грама ортогональной системы векторов – диагональная.

Процесс ортогонализации.

Пусть линейно не зависимая система векторов. Следующий процесс позволяет строить эквивалентную ей ортогональную систему векторов:

Положим , , …, …. Процесс не может быть продолжен только в случае, когда . Но тогда , и, значит, , что противоречит линейной независимости исходной системы векторов.

Ортогональность построенной системы проверяется непосредственно. Допустим, ортогональность системы векторов установлена. Покажем, что вектор ортогонален всем векторам, построенным ранее него. Действительно, , где k=1,2,…i -1. В силу ортогональности системы векторов в сумме из правой части равенства только одно не нулевое слагаемое, получаемое при j = k. Следовательно, .

Следствие 2.1 В любом подпространстве конечномерного евклидова пространства имеется ортогональный базис.

Доказательство. Возьмем базис подпространства и применим к нему процесс ортогонализации. В результате будет построена ортогональная система векторов (а, значит, и линейно независимая) из этого подпространства. Поскольку количество векторов в построенной системе совпадает с размерностью подпространства, то, следовательно, построенная ортогональная система векторов является базисом подпространства.

Следствие 2.2. Любую ортогональную систему векторов можно дополнить до ортогонального базиса всего пространства.

Доказательство. Пусть - ортогональная система векторов. Дополним ее до базиса всего пространства векторами и к полученной системе применим процесс ортогонализации. В результате будет построен ортогональный базис всего пространства. Поскольку первые k векторов были ортогональны, то в процессе ортогонализации они не изменились, т.е. ,…, . Таким образом, векторы дополняют ортогональную систему до ортогонального базиса всего пространства.

Следствие 2.3. Пусть - базис пространства, а - ортогональный базис пространства, полученный из базиса процессом ортогонализации. Тогда матрица перехода от одного базиса к другому является треугольной, и на ее главной диагонали стоят 1.

Доказательство. Согласно процессу ортогонализации имеем , , …, …, а, значит, матрица перехода P (ее столбцы – координаты базисных векторов) равна .

Нормальное решение

В ряде случаев, из множества решений, следует выбрать какое то одно. Нормальным решением системы линейных уравнений Ax = b называется решение наименьшей длины.

Задача отыскания нормального решения сводится к задаче определения расстояния от начала координат до линейного многообразия, заданного системой линейных уравнений Ax = b.

Перпендикуляр, опущенный из начала координат на это линейное многообразие, представляется в виде линейной комбинации строк матрицы A. Следовательно, задача построения нормального решения сводится к решению системы линейных уравнений и вычислению ответа .

Нормальное решение всегда единственно, чего нельзя сказать о решении системы . Необходимым и достаточным условием единственности решения указанной системы является условие линейной независимости строк матрицы A.

Нормальное псевдорешение.

Задача построения нормального псевдорешения сводится к решению системы и вычисления нормального псевдорешения по формуле .

Унитарное пространство.

Пусть V линейное пространство над полем комплексных чисел. Можно ли обобщить понятие скалярного произведения на такое пространство. Оказывается, да! Для этого достаточно незначительно изменить аксиомы скалярного произведения.

1. .

2.

3. при .

Черта в свойстве 2 обозначает знак комплексного сопряжения. Пространство над полем комплексных чисел, в котором введено скалярное произведение называется унитарным.

Обозначим через G матрицу Грама базисных векторов, то есть матрицу на пересечении строки i столбца j стоит скалярное произведение i-го и j-го вектора . Используя матричные операции умножения, получаем . Матрицы Грама в разных базисах связаны формулой , где P матрица перехода. Все остальные свойства скалярного произведения полностью сохраняются.

Теорема Якоби

Обозначим через угловой минор j -го порядка матрицы F (и положим ).

Теорема 4.10 Якоби. Пусть (k =1,2,.., r). Существует канонический базис , для которого , при k =1,2,.., r, и при k > r.

Доказательство очевидным образом повторяет Следствие 4.12.

Критерий Сильвестра.

Эрмитовая форма называется положительно определенной, если для любого справедливо неравенство .

Теорема 4.11 Критерий Сильвестра положительной определенности. Эрмитова форма положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры (расположенные по главной диагонали) строго больше нуля.

Доказательство. Если все главные миноры F строго больше нуля, то и все угловые миноры матрицы F строго больше нуля. По теореме Якоби найдется базис, в котором эрмитова форма имеет вид . Поскольку все коэффициенты строго больше нуля, то эрмитова форма положительно определена.

Покажем обратное. Допустим, найдется главный минор матрицы F, не больше нуля. Не нарушая общности можно считать, что это угловой минор порядка k, так как в противном случае перенумеруем переменные соответствующим образом. Далее, можно считать, что все угловые миноры до (k -1)-го порядка больше нуля. Действительно, иначе можно положить k равным меньшему значению. Положим все переменные с номером больше k равными нулю. В результате получим эрмитову форму от k переменных с матрицей . Угловые миноры этой матрицы до (k -1)-го порядка больше нуля, и, значит можно воспользоваться теоремой Якоби. В некотором базисе эта форма имеет вид . По построению , и, значит, найдется не нулевой вектор, значение эрмитовой формы на котором не больше нуля, что противоречит ее положительной определенности. К полученному противоречию привело допущение о существовании не положительных главных миноров матрицы F. Следовательно, все главные миноры больше нуля.

Квадрики.

Алгебраическая поверхность

Пусть некоторый полином от n переменных. Алгебраической поверхностью называется множество решений уравнения , порядком алгебраической поверхности называется максимальная степень полинома. Если n =2, то алгебраическая поверхность называется алгебраической кривой.

Под аффинной заменой координат будем понимать замену вида , где P – невырожденная матрица.

Теорема 5.12При аффиной заменой координат порядок поверхности не меняется.

Доказательство. Непосредственной подстановкой легко проверить, что при аффинной замене координат порядок поверхности не возрастает. Возврат к исходной системе координат является аффинным преобразованием. Значит, порядок поверхности не может и убывать.

Уравнение квадрики.

Алгебраическая поверхность второго порядка называется квадрикой. Общее уравнение квадрики можно записать в следующем виде . Положим и . Уравнение квадрики в новых обозначениях принимает вид . Матрица называется расширенной матрицей квадрики.

5.3 Изменение квадрики при аффинном преобразовании

Ответим на вопрос об изменении уравнения квадрики при аффинной замене координат x = h + Ty. Положим , тогда равенство x = h + Ty эквивалентно равенству , и, значит, . Тем самым установлена теорема.

Теорема 5.13. Пусть из квадрики аффинной заменой координат x = h + Ty получается квадрика , тогда , , , .

Обозначим через s (A) положительный индекс инерции, а через t (A) – отрицательный индекс инерции квадратичной формы. Из приведенных формул вытекает полезное следствие.

Следствие 5.13. Пусть из квадрики аффинной заменой координат получена квадрика . Тогда , , и , , .

Доказательство вытекает из закона инерции квадратичных форм и формул изменения квадрики при аффинной замене системы координат.

Следствие 5.14. Величины , , , являются аффинными инвариантами квадрики.

Линейный оператор

Примеры линейных операторов.

1. Линейная функция

2. Дифференцирование функций

3. Проекция вектора

4. Пседообратная матрица

Эквивалентность матриц

Матрицы A и B называются эквивалентными, если найдутся невырожденные матрицы Q и T, что A = QBT.

Теорема 6.18. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны.

Доказательство. Поскольку ранг произведения не превосходит ранги сомножителей, то . Так как , то . Объединяя два неравенства, получаем требуемое утверждение.

Теорема 6.19. Элементарными преобразованиями со строками и столбцами матрицу A можно привести к блочному виду , где - единичная матрица порядка k, а 0 – нулевая матрица соответствующих размеров.

Доказательство. Приведем алгоритм приведения матрицы A к указанному виду. Номера столбцов будут указываться в квадратных скобках, а номера строк – в круглых скобках.

1. Положим r =1.

2. Если то перейдем на шаг 4, иначе перейдем на шаг 3.

3. Сделаем преобразования со строками , где i = r +1,…, m, и со столбцами , где j = r +1,…, n, и . Увеличим r на 1 и вернемся на шаг 2.

4. Если , при i = r +1,…, m, j = r +1,…, n, то конец. В противном случае найдем i, j > r, что . Переставим строки и столбцы , вернемся на шаг 2.

Очевидно, что алгоритмом будет строиться последовательность эквивалентных матриц, последняя из которых имеет требуемый вид.

Теорема 6.20. Матрицы A и B одинаковых размеров эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги равны.

Доказательство. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны (Теорема 6.18). Пусть ранги матриц равны. Тогда найдутся невырожденные матрицы, что , где r = rgA = rgB (Теорема 6.19). Следовательно, , и матрицы A и B – эквивалентны.

Результаты данного пункта позволяют находить простейший вид матрицы линейного оператора и базисы пространств, в которых матрица линейного оператора имеет этот простейший вид.

Теорема Шура

Пусть - линейное преобразование пространства V над полем комплексных чисел C. Линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор (Следствие 7.16). Этот факт можно усилить.

Теорема 7.27. Пусть - линейное преобразование пространства V над полем комплексных чисел C. Существует базис V, в котором матрица линейного преобразования имеет верхний треугольный вид.

Доказательство проведем индукцией по размерности V. Пусть утверждение верно для линейных преобразований (n -1)-мерных пространств. Покажем его справедливость для линейного преобразования n -мерного линейного пространства V. Поскольку линейное пространство над полем C, то существует собственный вектор h этого линейного преобразования. Дополним этот вектор до базиса всего пространства векторами . Матрица линейного преобразования в этом базисе имеет блочный вид , где - собственное число для вектора h. Обозначим через W линейную оболочку векторов . Векторы образуют базис W. Обозначим через линейное преобразование W, матрица которого в базисе равна A. По предположению индукции в подпространстве W существует базис , в котором матрица линейного преобразования имеет верхний треугольный вид. Пусть T – матрица перехода к этому базису. Тогда - верхняя треугольная матрица. Матрица перехода от базиса к базису равна , и, значит, матрица в базисе равна , то есть является верхней треугольной.

Аналогом доказанной теоремы над полем вещественных чисел является следующий результат.

Теорема 7.28. Пусть - линейное преобразование пространства V над полем вещественных чисел R. Существует базис V, в котором матрица линейного преобразования имеет блочный верхний треугольный вид. По главной диагонали стоят блоки первого и второго порядка.

Доказательство проведем индукцией по размерности n пространства V. Пусть утверждение верно для линейных преобразований пространств размерности меньшей n. Покажем его справедливость для линейного преобразования n -мерного линейного пространства V. Линейное преобразование имеет либо одномерное, либо двумерное инвариантное подпространство (Следствие 7.17). Дополним базис этого инвариантного подпространства до базиса всего пространства векторами , где k равно либо 2, либо 3. Матрица линейного преобразования в этом базисе имеет блочный вид , где - блок либо первого, либо второго порядка. Далее, рассуждения повторяют доказательство теоремы 7.6.

Теорема 7.29. (теорема Шура). Для линейного преобразования унитарного пространства V существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет верхний треугольный вид.

Доказательство. Пусть - базис V, в котором матрица линейного преобразования имеет верхний треугольный вид (Теорема 7.27). Применим к базису процесс ортогонализации и построим ортогональный базис . Матрица перехода T от базиса к базису - верхняя треугольная и . Поскольку произведение верхних треугольных матриц является верхней треугольной матрицей, то матрица - верхняя треугольная. Положим , где i= 1,…, n. Базис - ортонормированный и матрица линейного преобразования в этом базисе – верхняя треугольная, тем самым теорема доказана.

Теорема 7.30. Для линейного преобразования евклидова пространства V существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочный верхний треугольный вид. По главной диагонали расположены блоки первого и второго порядков.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 7.7.

8 Сопряженные преобразования.

8.1 Линейное преобразование и билинейные функции

Пусть V евклидово (унитарное) пространство. Обозначим через множество всех линейных преобразований пространства V, а через B множество билинейных функций, заданных на V. Если , то функция является билинейной. Таким образом, определено однозначное отображение множества линейных преобразований LP в множество билинейных функций B. Исследуем свойства этого отображения.

Свойство 8.19. Разные линейные преобразования отображаются в разные билинейные функции.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть найдутся два разных линейных преобразования и , которые отображаются в одну и ту же билинейную функцию. Тогда для любых векторов справедливо равенство или . Положим , тогда и для любого вектора . Это означат, что линейные преобразования равны, что противоречит допущению.

Свойство 8.20. Отображение линейных преобразований в билинейные функции взаимно однозначно.

Доказательство. Покажем, что для любой билинейной функции существует линейное преобразование , что . Для каждого вектора x определим подпространство . Ортогональное дополнение к этому подпространству имеет размерность не выше 1. Действительно, если и , то и для вектора справедливо включение , и, значит . Определим функцию , где z – базис . Если , то положим . Легко убедиться, что , и, значит функция - линейное преобразование.

Аналогично, можно рассмотреть отображение LP на B, задаваемое формулой . Это отображение взаимно однозначно.

Линейное преобразование называется сопряженным преобразованием к , если для любых векторов x,y из V справедливо равенство . Сопряженное преобразование к обозначают .

8.2 Сопряженное преобразование. Свойства.

Пусть e₁,…,e_n базис V, - матрица линейного преобразования , G _e – матрица Грама скалярного произведения. Перейдем от равенства векторов к равенству координат . Из этого равенства выводим . В случае ортонормированного базиса формула принимает более простой вид . Для евклидова пространства, знак комплексного сопряжения можно опустить.

Свойство 8.21. Перечислим свойства сопряженного преобразования

1)

2)

3)

4)

5) Если W инвариантное подпространство , то ортогональное дополнение к W инвариантно относительно .

Доказательство. Из равенства выводим первое свойство. Второе свойство получается из равенств . Для доказательства третьего свойства достаточно рассмотреть равенства . Четвертое свойство доказывается равенствами . Докажем пятое свойство. Для произвольного вектора x из W и произвольного вектора скалярное произведение . По определению сопряженного преобразования , и, значит , что и требовалось доказать.

Пятое свойство позволяет дать другое доказательство теоремы Шура.

8.3 Нормальное преобразование и его свойства.

Преобразование называется нормальным, если оно перестановочно с сопряженным преобразованием, то есть .

Свойство 8.22. Если x собственный вектор нормального преобразования с собственным значением , то x собственный вектор с собственным значением .

Доказательство. Пусть . Поскольку и , то .

Свойство 8.23. Собственные векторы нормального преобразования, соответствующие разным собственным значениям ортогональны.

Доказательство. Пусть x и y – собственные векторы нормального преобразования , соответствующие разным собственным значениям и (, ). Из равенств и (Свойство 8.22) выводим , , , . Далее, , откуда .

Теорема 8.31. Для нормального преобразования конечномерного унитарного пространства существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство. Путь - ортонормированный базис унитарного пространства V, в котором матрица нормального преобразования является верхней треугольной. Пусть , тогда . Из равенства вытекает, что матрица A – диагональная, и, значит, базис составлен из собственных векторов.

Построение ортонормированного базиса из собственных векторов, в котором матрица нормального преобразования диагонализируема, можно осуществлять следующим образом. Найти какой ни будь базис из собственных векторов. При этом, собственные векторы, соответствующие разным собственным числам заведомо ортогональны (Свойство 8.23). Условие ортогональности может нарушаться только на собственных векторах, соответствующих одному и тому же собственному значению.

Если матрица линейного преобразования диагонализируема, то всегда можно ввести скалярное произведение таким образом, чтобы линейное преобразование стало нормальным.

Теорема 8.32. Для нормального преобразования конечномерного евклидова пространства существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно-диагональный вид. По главной диагонали расположены блоки первого и второго порядка.

Доказательство. Путь - ортонормированный базис евклидова пространства V, в котором матрица нормального преобразования является блочной верхней треугольной. Пусть , тогда . Из равенства