Вопрос. Распределение Пуассона.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Вопрос. Распределение Пуассона.

Вопрос. Производящая функция.

Вопрос. Гипергеометрическое распределение.

Вопрос. Равномерное распределение.

6 вопрос. Нормальное распределение.

7 вопрос. Распределение Пирсона (χ²-распределение). На самостоятельное изучение

Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. – 608 с.

Глава 5. Дискретные случайные величины. – С. 118 – 150

Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 151 – 176

Ответы и решения

Глава 5. Дискретные случайные величины. – С. 359 – 400

Глава 6. Непрерывные случайные величины. – С. 401 – 427

Приложения. – С. 550 – 587

Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов/ И.И. Елисееева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 446 с.

Глава 5. Законы распределения дискретных случайных величин. – С. 90 – 128

Глава 7. Законы распределения непрерывных случайных величин. – С. 139 – 179

Приложения. – С. 427 – 435

3. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Теория вероятностей и математическая статистика в определениях, формулах и таблицах: справочное пособие. – Ростов-н/Д: Феникс, 2007. – 192с.

Глава 4. Дискретные случайные величины. – С. 21 – 30

Глава 5. Непрерывные случайные величины. – С. 31 – 43

Приложения. – С. 127 – 171

Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с.

Глава 2. Повторные независимые испытания. – С. 67 – 85.

Глава 4. Основные законы распределения. – С. 140 – 174.

Приложения. Математико-статистические таблицы. – С. 526 – 534.

1 вопрос. Биномиальное распределение.

p, 0<p<1

СВ Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями:

- число сочетаний

Следующая таблица показывает как, в соответствии с формулой Бернулли, получаются биномиальные вероятности для всех значений случайной величины.

Число успехов, X=m (xi)	Вероятности, Рn, m (pi)
…	…
m
…	…
n- 1
n
Сумма

Функция распределения F(x):

Математическое ожидание М(Х)=nр

Дисперсия σ²=D(X)=npq

Среднее квадратическое отклонение .

Пример 1.

Рассмотрим результаты проверки качества, проведённой компанией Nestle на линии по выпуску шоколадных батончиков «Mars». Известно, что из каждых двадцати батончиков один бракованный. Таким образом, 5% (1/20) продукции выбрасывается и не идёт в продажу. Полностью проверить всю произведённую партию не представляется возможным. Случайным образом из партии отобрали 4 батончика.

Составить биномиальный закон распределения числа батончиков, не соответствующих стандарту, и построить его график.

Найти числовые характеристики этого распределения.

Записать функцию распределения числа бракованных батончиков и построить её график.

Чему равна вероятность, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных?

Решение. В качестве случайной величины Х здесь выступает число батончиков «Mars» в выборке, которые не соответствуют стандарту.

Возможные значения СВ Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность того, что каждый из отобранных батончиков бракованный, постоянна и равна 0,05 (p = 1/20=0,05). Вероятность противоположного события, т.е. того, что изделие соответствует стандарту, также постоянна и составляет 0,95 (q = 1 - p = 1 – 0,05 = 0,95).

Все 4 испытания – независимы, т.е. вероятность появления бракованного батончика не зависит от того, бракованными или стандартными будут другие батончики.

Таким образом, СВ Х подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=4 и p=0,05.

Итак, по условию задачи: n = 4;

p = 0,05;

q = 0,95;

X = m-0, 1, 2, 3, 4.

Рассчитаем вероятности того, что СВ примет каждое из своих возможных значений по формуле Бернулли.

Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Бернулли.

Получим ряд распределения числа бракованных шоколадных батончиков в выборке:

0,8145+0,1715+0,0135+0,0005+0=1

СВ можно задать графически многоугольником (полигоном) распределения (рис. 1).

Рисунок 1. Полигон распределения вероятностей.

Найдем числовые характеристики данного биномиального распределения: М(Х), D(Х), .

Математическое ожидание определим 2-мя способами:

- как М(Х) ДСВ

шт.

- как М(Х) ДСВ, распределённой по биномиальному закону

шт.

Итак, среди случайно выбранных 4-х шоколадных батончиков можно ожидать появление в среднем 0,2 бракованных (точнее, менее одного).

Дисперсию определим:

- как D(X) ДСВ

- как D(X) ДСВ, распределённой по биномиальному закону

Среднее квадратическое отклонение шт.

Запишем биномиальный закон распределения в форме функции распределения

Рассчитаем значения F(х):

Эти данные можно представить и в виде таблицы:

График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 2).

Рисунок 2. Функция распределения вероятностей.

Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных батончиков окажется не более 2 бракованных (т.е. «или ноль, или один, или два»), найдём по теореме сложения вероятностей несовместных событий:

P(X£ 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,8145 + 0,1715 + 0,0135 = 0,9995.

Пример 3.

На изготовление 1000 булочек затрачено 5000 изюминок. Какова вероятность того, что в случайной булочке окажется менее трёх изюминок?

Решение:

Любая изюминка может с равной вероятностью попасть в каждую из 1000 булочек, т.е. вероятность попадания одной изюминки в данную булочку равна 0,001. Можно считать, что производится 5000 испытаний Бернулли, в которых решается вопрос, попадёт ли она в данную булочку. Вероятность «успеха» (попадания) p = 0,001, число испытаний n = 5000, поэтому вероятность того, что в булочке окажется менее 3-х изюминок (т.е. «или 0, или 1, или 2 изюминки») равна:

P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X<3) =

Вычисление искомой вероятности по этой формуле затруднительно. Воспользуемся приближением Пуассона (n – велико, р – мало) при λ = np = , тогда

P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = .

Теперь по таблице распределения Пуассона имеем:

P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,0067 + 0, 0337 + 0, 0842 = 0,1246

Эти значения подчёркнуты в отрывке таблицы.

Значения функции Пуассона: .

Итак, вероятность того, что в случайной булочке окажется менее трёх изюминок равна 0,1246.

2. Например, если ДСВ Х подчиняется распределению Пуассона, то вероятность того, что Х примет значения от 8 до 12 включительно, найдём по формуле

P(8 X 12) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) + P(X=11) + P(X=12).

Теперь опишем ДСВ Х посредством НСВ Y, распределённой нормально с параметрами М(Y) = λ и D(Y) = λ. Тогда искомую вероятность можно будет найти как вероятность попадания нормально распределённой величины в заданный интервал P(7,5<X<12,5). Здесь 0,5 представляет собой поправку на непрерывность, т.к. ДСВ Х=8 в распределении Пуассона аппроксимирована интервалом 7,5 – 8,5 на непрерывной кривой нормального распределения, а ДСВ Х=12 в распределении Пуассона аппроксимирована интервалом 11,5 – 12,5 на непрерывной кривой нормального распределения.

3 вопрос. Производящая функция.

Функция , разложение которой по степеням z (где z – произвольный параметр) даёт в качестве коэффициентов вероятности значений СВ Х, называется производящей функцией для этой СВ.

Пример 4.

В билетном зале 3 кассы. Вероятность того, что с 12 часов до 13 они работают, соответственно равны 0.9, 0.8, 0.7. Составьте закон распределения числа работающих касс в течение этого часа, и вычислите числовые характеристики этого распределения.

Решение:

4 вопрос. Гипергеометрическое распределение

ДСВ Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 0, 1, 2, 3,…, min(n,M) с вероятностями

,

Вспомните уже знакомую вам схему невозвращённого шара:

N

М N-M

n

m n-m

Если по формуле вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения, называемый гипергеометрическим законом распределения.

X=m (x i)	Вероятности, Р(X=m) (p i)
…	…
m
…	…
n
Сумма

Функция распределения F(x):

Математическое ожидание

Дисперсия:

- поправка на бесповторность выборки.

Пример 5.

Менеджер по персоналу рассматривает кандидатуры 12 человек, из которых 4 женщины, подавших заявление о приёме на работу в крупную фирму. Будут приняты только 5 человек.

Составьте ряд распределения числа женщин, среди лиц, занявших вакантные должности, и постройте его график.

Найдите числовые характеристики этого распределения.

Запишите функцию распределения и постройте её график.

Чему равна вероятность того, что менее 3-х женщин займут предложенные вакансии?

Решение:

СВ Х - число женщин, среди лиц, занявших вакантные должности – принимает значения 0, 1, 2, 3, 4.

Это - дискретная случайная величина, т.к. ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.

Очевидно, что отбор кандидатов - бесповторный. Следовательно, испытания - зависимые.

Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина – число женщин среди лиц, занявших вакантные должности - подчиняется гипергеометрическому закону распределения.

Изобразим ситуацию на схеме:

12 кандидатов

4 женщины 8 мужчин

5 вакансий

0 5

1 4

2 3

3 2

4 1

Составим ряд распределения.

Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений по формуле:

,

По условию задачи N=12, M=4, n=5, m=0, 1, 2, 3, 4

Занесем полученные результаты в таблицу:

0,0707 + 0,3535 + 0,4242 + 0,1414 + 0,0101 = 0,9999» 1.

График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины (полигон распределения вероятностей) изображен на рис 23

Рисунок 23.

Найдем числовые характеристики данного биномиального распределения: М(Х), D(Х), .

Математическое ожидание определим 2-мя способами:

- как М(Х) ДСВ

- как М(Х) ДСВ, распределённой по гипергеометрическому закону

женщин

Итак, среди случайно выбранных 5-х кандидатов можно ожидать появление в среднем 1,6667 женщин (точнее, менее двух).

Дисперсию определим:

- как D(X) ДСВ

- как D(X) ДСВ, распределённой по гипергеометрическому закону

Среднее квадратическое отклонение

Зададим дискретную случайную величину в виде функции распределения:

Рассчитаем значения F(х):

Эти данные можно представить и в виде таблицы:

График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 24).

Рисунок 24. Функция распределения вероятностей.

Определим вероятность того, что среди 5-х отобранных кандидатов на должности окажется меньше трёхх женщин. «Меньше трёх» - это «или ноль, или одна, или две».

Можно применить теорему сложения вероятностей несовместных событий:

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,0707 + 0,3535 + 0,4242 = 0,8484.

Правило трёх сигм

δ=tσ

P(| Х_н -а|< tσ)≈2Ф₀ (t)

t = 1 → Р(|Х_Н - а| < σ) ≈2Ф₀(1) ≈ 0,6827

При t = 2 → P(|Х_Н - а| < 2σ) ≈ 2Ф₀(2) ≈0,9545

t = 3 → P(|X_H - а| < 3σ) ≈2Ф₀(3) ≈ 0,9973

С вероятностью близкой к единице (равной 2Ф₀(3) ≈ 0,9973) нормально распределенная СВ Х удовлетворяет неравенству: а - 3σ < X_H < а + 3σ

вопрос. Распределение Пуассона.

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?