Проверка гипотез о законе распределения

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 17Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

В большинстве случаев закон распределения изучаемой случайной величины Х неизвестен, но существуют основания предполагать, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, экспоненциальный или какой-либо другой.

В качестве статистического критерия проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения используют критерий согласия, который используют для проверки согласия предполагаемого вида распределения с опытными данными на основе исследуемой выборки. В статистике используют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера и др.

Критерий Пирсона

Наиболее часто при проверке гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения пользуются критерием Пирсона.

Пусть задана выборка из генеральной совокупности в виде статистического интервального ряда.

Необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, пользуясь критерием Пирсона.

Правило проверки:

1. Вычисляют и (формулы 1.10-1.12, 1.16).

2. Находят теоретические частоты .

Вычислить теоретические частоты можно по формуле:

, (1.45)

где – объем выборки,

– шаг,

; (1.46)

(1.47)

- функция Гаусса, значение которой в точке , находится по таблице (приложение 3).

(1.48)

- вероятность попадания значений случайной величины в -й интервал.

Для определения составляют вспомогательную таблицу (табл. 1.8).

Таблица 1.8

3. Сравнивают эмпирические () и теоретические () частоты с использованием критерия Пирсона по алгоритму:

1) составляется расчетная табл.1.9, из которой определяется наблюдаемое значение критерия по формуле:

. (1.49)

Таблица 1.9

2) Определяется число степеней свободы на основании формулы:

, (1.50)

где – число интервалов;

– число параметров предполагаемого распределения.

Для нормального распределения число степеней свободы равно в виду того, что - нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами и .

4. По данным таблицы критических точек (квантилей) распределение (приложение 4) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяют правосторонней критической области.

Когда то отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности оснований не существует.

В случае если – гипотеза отвергается.

Замечание:

1) Объем изучаемой выборки должен быть достаточно большой .

2) Малочисленные частоты при следует объединять, в том числе и соответствующие им теоретические частоты.

В случае, когда производилось объединение частот при определении числа степеней свободы по формуле в качестве необходимо принимать число интервалов, оставшихся после объединения частот.

Критерий Колмогорова

На практике кроме критерия часто используют критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривается максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей ей теоретической функцией распределения:

, (1.51)

называемой статистикой критерия Колмогорова.

Критерий Колмогорова в своем классическом виде является более мощным, чем критерий Пирсона и может быть использован для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения любому теоретическому непрерывному распределению с заранее известными параметрами.

Доказано, что какой бы ни была функция распределения непрерывной случайной величины , при неограниченном увеличении числа наблюдений вероятность неравенства стремится к пределу:

. (1.52)

Задавая уровень значимости , из соотношения (1.53):

, (1.53)

можно определить соответствующее критическое значение .

При этом график функции K (l) имеет следующий вид:

Значения K (l) находят, пользуясь данными табл. 1.10.

Таблица 1.10

Если найденному значению соответствует очень малая вероятность, то есть , то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями нельзя считать случайным. Следовательно, рассматриваемая выборка не подчиняется нормальному закону распределения.

Если вероятность , то расхождение между частотами может быть случайным, и распределения хорошо соответствуют одно другому.

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1. Строят эмпирическую функцию распределения и предполагаемую теоретическую функцию распределения .

2. Определяют меру расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями с использованием формулы (1.54) и вычисляют величину :

. (1.54)

где – максимум абсолютного значения разности между накопленными эмпирическими частотами М и накопленными теоретическими частотами ,

n – объем выборки.

3. Если вычисленное значение больше критического _, определенного при уровне значимости , то нулевая гипотеза о том, что случайная величина имеет заданный закон распределения, отвергается (односторонний критерий). Если же , то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным и принимается.

Замечание:

Можно отметить, что решение подобных задач можно было бы найти с помощью критерия . Потенциальное преимущества критерия Колмогорова в том, что он не требует группирования данных (с неизбежной потерей информации), а дает возможность рассматривать индивидуальные наблюдаемые значения. Этот критерий можно успешно применять для малых выборок. Считается, что его мощность выше, чем у критерия .

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?