Первичная обработка результатов наблюдений

Генеральная совокупность – это некоторое множество А или совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений определенной случайной величины. Например, множество всех единиц продукции данного предприятия. Выборка (выборочная совокупность) –случайно выбранное подмножество B Ì A из генеральной совокупности. Например, множество случайно выбранных единиц продукции, при этом некий наблюдатель измерил у них вес в килограммах.

Одним из основных методов математической статистики является выборочный метод – метод исследования общих свойств множества А на основе изучения статистических свойств только подмножества В.

Число N = | A | элементов множества А называется объемом генеральной совокупности, а число n = | B | - объемом выборки. При изучении некоторого признака Х (в данном примере – веса) выборки производят испытания или наблюдения (измерение веса).

Выборку образуют полученные разными способами отбора исходные данные, которые представляют собой множество чисел, расположенных в хаотичном порядке (беспорядке). По такой выборке невозможно выявить определенную закономерность их варьирования (изменчивости). Поэтому с целью обработки исходных данных применяют операцию ранжирования, которая заключается в том, что наблюдаемые значения случайной величины располагают в определенном порядке (возрастания или убывания).

После проведения операции ранжирования отдельные значения случайной величины группируют таким образом, чтобы в каждой отдельной группе значения случайной величины были одинаковыми. Каждое из таких значений называется вариантой .

Число, которое показывает, сколько раз встречаются соответствующие значение варианты в ряду наблюдений, называется частотой или эмпирической частотой и обозначается как , где - номер варианты.

Отношение w_i = n_i / n частоты n_i к объему выборки n называют относительной частотой (частостью) варианты х_i.

Вариационным рядом (или статистическим распределением) называют последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке и соответствующих им частот или относительных частот.

Различают дискретные и непрерывные вариационные ряды.

Дискретным статистическим рядом принято называть ранжированную совокупность вариант и соответствующих им частот или частостей .

Принято записывать дискретный статистический ряд в виде табл.1.1.

Таблица 1.1

В случае, когда исследуемая случайная величина является непрерывной или число ее значений достаточно велико (), то принято составлять интервальный вариационный ряд.

Интервальный вариационный ряд, формируется на основании следующего алгоритма:

1. Вычисляют размах R варьирования признака Х, как разность между наибольшим и наименьшим значениями признака совокупности:

. (1.1)

2. Размах R варьирования признака Х делится на k равных частей и таким образом определяется число столбцов (интервалов) в таблице. Число k частичных интервалов выбирают, пользуясь одним из следующих правил:

,

,(1.2)

.

При небольшом объеме n выборки число k интервалов принимают равным от 6 до 10.

3. По формуле (1.3) рассчитывают длину частичного интервала :

, (1.3)

где – шаг;

k – число интервалов.

Величину h обычно округляют до некоторого значения d. Так, если результаты признака Х – целые числа, то h округляют до целого значения, если содержат десятичные знаки, то h округляют до значения d, содержащего такое же число десятичных знаков.

4. Подсчитывается частота n_i, с которой попадают значения признака Х в i -й интервал.

Изучая полученные результаты наблюдений, выявляют, сколько значений случайной величины отнесено в каждый конкретный интервал. В интервал включаются значения, большие или равные нижней границе, а меньшие - верхней границы интервала. В первую строку таблицы статистического ряда распределения вписываются частичные промежутки . Во вторую строку – количество наблюдений (где ) попавших в каждый конкретный интервал, т. е. частоты соответствующих интервалов.

В качестве начала первого интервала рекомендуется брать начальную величину, определяемую по формуле:

, (1.4)

Конец последнего интервала ряда должен полностью удовлетворять условию:

. (1.5)

Промежуточные интервалы обычно получают, прибавляя к верхней границе (концу) предыдущего интервала шаг.

Сформированный интервальный вариационный ряд записывают в виде табл. 1.2.

Таблица 1.2

Варианты-интервалы, (; )	(; )	(; )	...	(; )
частоты, ni	n 1	n 2	...	nk

Для расчета статистик (выборочной средней, выборочной дисперсии, асимметрии и эксцесса) переходят от интервального к дискретному вариационному ряду. В данном случае серединное значение -го интервала принимается за варианту , а соответствующая интервальная частота принимается за частоту данного варианта. При этом дискретный вариационный ряд записывается в виде табл. 1.3 или табл. 1.4.

Таблица 1.3

Здесь , где n - объем выборки.

Таблица 1.4

Здесь .

Для характеристики свойств статистического распределения в математической статистике вводится понятие эмпирической функции распределения. Под эмпирической функцией или функцией распределения выборки понимается функция , которая определяет частость события для каждого отдельного значения :

, (1.6)

где - объем выборки,

– число наблюдений, меньших .

В случае увеличения объема статистической выборки частость события приближается к вероятности данного события, поэтому эмпирическая функция является оценкой интегральной функции . Стоит отметить, что функции и обладают одинаковыми свойствами. К числу этих свойств относятся:

1. ;

2. - неубывающая функция;

3. , .

В теории вероятностей аналогом этой функции является интегральная функция распределения F (x), для которой достоверно приближенное равенство:

, (1.7)

где – дифференциальная функция распределения или функция плотности вероятности.

Выборочным тождеством функции следует считать функцию:

, (1.8)

где – частость попадания наблюдаемых значений случайной величины в интервал . Следовательно, значение является характеристикой плотности частости на данном интервале.

В случае, если наблюдаемые значения непрерывной случайной величины представлены в виде интервального вариационного ряда, и, предполагая, что w_i – это частость попадания данных значений в интервал , где – длина частичного интервала, то выборочная функция плотности задается соотношением:

(1.9)

где – конец последнего k -го интервала ряда.

В виду того, что функция является тождеством распределения плотности случайной величины, то область под графиком данной функции всегда равна единице.