Порівняння вибіркової середньої й генеральної середньої нормальної сукупності

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 21Следующая ⇒

Нехай з нормальної генеральної сукупності витягнута вибірка об'ємом n і визначена вибіркова середня `х. Передбачається, що генеральна середня дорівнює а і генеральна дисперсія дорівнює s². Варто перевірити, чи значима розбіжність між вибірковою й генеральної середніми, або вона обумовлена випадковими причинами, тобто незначима. Запишемо нульову гіпотезу, врахуємо при цьому, що математичне сподівання вибіркової середньої дорівнює генеральній середній:

H₀: M[`х] = a.

Сформулюємо альтернативну гіпотезу:

H₁: M[`х] ¹ a.

При такому формулюванні альтернативної гіпотези необхідно побудувати двосторонню критичну область, імовірність влучення в яку дорівнює рівню значимості a. Як міра розбіжності між вибірковою і генеральною середніми використаємо випадкову величину Z:

, (11.1)

яка є нормованою нормальною випадковою величиною з параметрами M[Z]=0 і s_z = 1.

Найбільша потужність критерію досягається, якщо імовірність влучення критерію Z у кожний із двох інтервалів критичної області дорівнює a/2:

P{|Z|>z_кр}=a/2. (11.2)

Оскільки розподіл критерію Z симетричний відносно нуля, критичні точки також розташовані симетрично відносно нуля, тобто область прийняття нульової гіпотези (-z_кр, z_кр).

Для визначення критичних точок можна скористуватися функцією Лапласа Ф(х), що являє собою імовірність влучення нормованої випадкової величини в інтервал (0,х), тобто:

P{0<X<x} = Ф(х).

Оскільки розподіл Z симетричний відносно нуля, по теоремі додавання ймовірностей маємо:

P{0< Z <z_кр} + P{ z_кр < Z < ¥}= 1/2,

або, виразивши ймовірність через функцію Лапласа, одержимо:

Ф(z_кр)+ a/2 = ½,

звідки

. (11.3)

Таким чином, визначивши значення функції Лапласа, можна по таблиці знайти значення її аргументу, тобто критичну точку z_кр. Тоді двостороння критична область визначається двома нерівностями:

Z < -z_кр;

Z > z_кр,

а область прийняття гіпотези:

|Z|<z_кр. (11.4)

У випадку, коли генеральна дисперсія невідома, як критерій використовують t-розподіл (розподіл Стьюдента) з (n-1) ступенями свободи. Спостережуване значення критерію при цьому обчислюють за формулою

, (11.5)

де s - вибіркове середнє квадратичне відхилення.

У практичних задачах часто виникає ситуація, коли відома величина припустимої помилки d при визначенні вибіркової середньої. Виникає задача визначення об'єму вибірки, що забезпечує задану припустиму величину помилки d=`х-a. Об'єм вибірки n можна визначити, скориставшись формулою (11.5). Нехай у результаті перевірки нульової гіпотези визначена двостороння критична область, що відповідає рівню значимості a, тоді

де k - число ступенів свободи.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология