Гипотеза о равенстве средних с неизвестными дисперсиями

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 14

(зависимые выборки).

К зависимым выборкам относятся, например, результаты наблюдения над одной и той же группой объектов до и после воздействия независимым фактором. Такие наблюдения называются парными.

Пусть генеральные совокупности Х,У распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Требуется на заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е.

H₀: M() = М().

Сведем данную задачу сравнения двух средних к задаче сравнения одной выборочной средней с предполагаемым значением генеральной средней.

С этой введем в рассмотренные случайную величину – разности

d_i = x_i – y_i и их среднюю .

Таким образом, нулевую гипотезу можно записать H₀: .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайная величина

, где .

Величина t при справедливости нулевой гипотезы имеет t- распределение Стьюдента с ν = n -1 степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Пример. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены 5 деталей и были получены результаты. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу H₀: M() = М()при конкурирующей гипотезе: а) M() ≠ М();

б) M() < М().

▼ Исходные данные и расчетные показатели представим в расчетной таблице.

Исходные данные	Расчетные показатели
N	x	у
			-1 -2 -1	0,16 0,56 0,36 1,96 0,16
Итого			-3	5,2
Среднее	6,6	7,2	-0,6

Окончательно имеем

- выборочное среднее ;

- выборочное исправленная дисперсия ; .

Наблюдаемое значение критерия

.

Число степеней свободы ν =4.

а) Критическая область двусторонняя. По таблице распределения Стьюдента находим критическую точку t _кр= t _кр(1 – α; ν) = t _кр( 0,95; 4 ) = 2,78. Поскольку | t_наб | = 1,18 < t _кр= 2,78,то H₀ принимается.,

б) Критическая область – односторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента находим t _кр = t _кр (1 – 2α; ν) = t _кр (0,9; 4) = 2,13.

Поскольку | t_наб | = 1,18 < t _кр= 2,13,то H₀ принимается.

Гипотеза о равенстве двух дисперсий нормальных

Генеральных совокупностей.

Пусть генеральные совокупности Х, У распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными n₁, n₂, извлеченных из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии , . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. случайную величину

.

Величина F при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера со степенями свободы ν₁ = n₁ – 1, ν₂ = n₂ – 1, где n₁ – объем выборки с большей исправленной дисперсией, n₂ – объем выборки с меньшей исправленной дисперсией.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

По таблице критических точек распределения Фишера находят критическую точку из условий:

Если F_наб < F _кр, то H₀ принимается, если F _наб > F _кр, то H₀ отклоняется.

Замечание. В Excel имеется функция

F_кр = FРАСПОБР(α; ν₁; ν₂) для односторонней критической области;

F_кр = FРАСПОБР(α/2; ν₁; ν₂) для двусторонней критической области.

Пример. По выборочным данным о расходах сырья при производстве продукции по старой и новой технологии получены выборочные исправленные дисперсии , (n_x = 9) и , (n_у = 13).

Можно ли при уровне значимости 0,05 считать статистически значимым различие между исправленными дисперсиями..

▼ За большую дисперсию принимаем , n₁= 13; заменьшую - , n₂ = 9.

Наблюдаемое значение критерия

.

Число степеней свободы ν₁ = n₁ – 1= 12, ν₂ = n₂ – 1=8.

Для односторонней критической области F_кр = F_кр(α; ν₁; ν₂) =

F_кр( 0,05; 12; 8 ) = 3,28. Поскольку F_наб = 1,36 < F _кр = 3,28, то H₀ принимается, т.е. выборочные исправленные дисперсии не различаются.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США