Математическое ожидание и дисперсия непрерывной

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 14Следующая ⇒

случайной величины.

Математическим ожиданием и дисперсией непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называются выражения

.

Если возможные значения Х принадлежат (- ∞; ∞), то

Все свойства M(X), D(X), рассмотренные для ДСВ, справедливы и для непрерывной случайной величины; в частности

, где .

Пример. Найти M(X), D(X) случайной величины Х, заданной плотностью распределения

.

▼ ;

; .

Мода и медиана.

Модой М₀ случайной величины Х называется наиболее вероятное значение (для которой вероятность p_i или плотность вероятности f(x) достигают максимума).

Медианой Me непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого . Геометрически медиана Me делит площадь под кривой распределения f(x) на две равные части.

Пример. Найти моду, медиану и математическое ожидание случайной величины Х с плотностью распределения

▼ max f(x) достигается при х = М₀ = 1..

Медиану найдем из условия , или Þ .

.

Пример. Непрерывная случайная величина Х принимает значение на интервале (2; ∞) и имеет функцию распределения F(x) =1 – C/x² c параметром «С». Найти параметр «С», медиану, вероятность Р(4 < X < 6) и плотность распределения.

▼ Плотность распределения f(x) = F'(x) = 2C/x³. Неизвестный параметр «С» найдем из условия , , откуда С = 4, следовательно, f(x) = 8/x³, F(x) = 1 – 4/x².

Медиану найдем из условия , или Þ .

.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин.

Равномерный закон распределения.

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность распределения f(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е. .

По формуле , находим функцию распределения

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

.

Пример. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке

[-5; 25]. Найти вероятность Р(1 < X < 30).

▼ Плотность распределения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [-5; 25], есть f(x) = 1/30, тогда Р(1 < X < 30) =

= .

Показательный закон распределения.

Непрерывная случайная величина Х, которая принимает только неотрицательные значения с плотностью распределения f(x) = λe^-λx, λ > 0, называется распределенной по показательному закону с параметром λ.

Найдем функцию распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону:

.

Замечание. В Excel имеются функции f(x) = ЭКСПРАСП(x;λ;0),

F(x) = ЭКСПРАСП(x;λ;1).

Вероятность попадания в интервал (a, b) непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону:

P(a < X < b) = F(b) – F(a) = e^-λa - λe^-λb.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия показательного распределения случайной величины Х есть: M(X) = 1/λ, D(X) = 1/λ².

Показательный закон применяется в теории массового обслуживания и теории надежности.

Пример. Среднее время ремонта телевизора составляет 15 дней. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора требуется не менее 20 дней.

▼ Случайная величина Х (время ремонта телевизора) подчиняется показательному закону с параметром λ. По условию М(Х) = 1/λ = 15, откуда

λ = 1/15, тогда Р(Х ≥ 20) = 1 – Р(Х < 20) = 1 – F(20) = 1 – (1 - λe^-20/15) =

= e^-20/15 = 0,264.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров