Стационарные уравнения Колмогорова

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 10Следующая ⇒

(2.1.9)

Систему (2.1.9) можно составлять непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться следующим правилом.

При составления i- го уравнения системы уравнений Колмогорова для предельных вероятностей нужно рассмотреть состояние S_i на размеченном графе состояний. В левой части уравнения записывается сумма интенсивностей всехвыходящих из S_i стрелок (потоков), умноженная на предельную вероятность p_i. Каждой входящей в S_i из S_j стрелке (на ней указана интенсивность λ_ji) в правой части уравнения соответствует слагаемое
λ_ji p_i. В полученной системе уравнений одно уравнение будет выражаться через другие, т.к. они линейно зависимы. Поэтому какое-то одно уравнение этой системы нужно заменить уравнением

24. Одноканальная СМО с отказами

Простейшей одноканальной моделью свероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характери­зуемая показательным распределением как длительностей интерва­лов между поступлениями требований, так и длительностей обслу­живания. При этом плотность распределения длительностей интер­валов между поступлениями требований имеет вид

где λ — интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).
Плотность распределения длительностей обслуживания:
,
где – интенсивность обслуживания, t_об – среднее время обслуживания одного клиента.
Пусть система работает с отказами. Можно определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.
Относительная пропускная способность равна доли обслуженных заявок относительно всех поступающих и вычисляется по формуле: . Эта величина равна вероятности Р ₀ того, что канал обслуживания свободен.
Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени: .
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал обслуживания занят»:
.
Данная величина Р_отк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.
Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка — автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — t_об=1,8 часа.
Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:
относительной пропускной способности q;
абсолютной пропускной способности А;
вероятности отказа Р_отк;
Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.
Решение
Определим интенсивность потока обслуживания:
.
Вычислим относительную пропускную способность:
q = .
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей.
Абсолютную пропускную способность определим по формуле: А=λ×q= 1×0,356 = 0,356.
Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.
Вероятность отказа:
Р_отк =1- q =1-0,356=0,644.
Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.
Определим номинальную пропускную способность системы:
А _ном = (автомобилей в час).
Оказывается, что А_ном в раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров