Экологическая модель «хищник-жертва».

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 10Следующая ⇒

Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа "хищник - жертва", называемую моделью Вольтерра - Лотки. Впервые она была получена А.Лоткой (1925 г.), который использовал для описания динамики взаимодействующих биологических популяций. Чуть позже и независимо от Лотки аналогичные (и более сложные) модели были разработаны итальянским математиком В. Вольтерра (1926 г.), глубокие исследования которого в области экологических проблем заложили фундамент математической теории биологических сообществ или так называемой математической экологии.

Пусть два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид - хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида. Это могут быть караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д. Будем для определенности называть их карасями и щуками.

Итак, караси и щуки живут в некотором изолированном пруду. Среда предоставляет карасям питание в неограниченном количестве, а щуки питаются лишь карасями. Обозначим: у - число щук, х - число карасей.

Со временем число карасей и щук меняется, но так как рыбы в пруду много, то не будем различать 1020 карасей или 1021 и поэтому будем считать х и у непрерывными функциями времени t. Будем называть пару чисел (х, у) состоянием модели.

Попробуем из самых простых соображений найти, как меняется состояние (х, у). Рассмотрим dx/dt - скорость изменения численности карасей. Если щук нет, то число карасей увеличивается и тем быстрее, чем больше карасей. Будем считать, что эта зависимость линейная: dx/dt ~ a1 x, причем коэффициент a1 зависит только от условий жизни карасей, их естественной смертности и рождаемости.

Скорость изменения dy/dt числа щук (если нет карасей), зависит от числа щук y. Будем считать, что dy/dt ~ -a2 y. Если карасей нет, то число щук уменьшается (у них нет пищи) и они вымирают.

В экосистеме скорость изменения численности каждого вида также будем считать пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности особей другого вида. Так, для карасей этот коэффициент уменьшается с увеличением числа щук, а для щук увеличивается с увеличением числа карасей. Будем считать эту зависимость также линейной. Тогда получим систему из двух дифференциальных уравнений: dx/dt = a1 x - b1 yx

dy/dt = - a2 y + b2 yx

Эта система уравнений и называется моделью Вольтерра-Лотки. Числовые коэффициенты a1, a2, b1, b2 - называются параметрами модели. Очевидно, что характер изменения состояния (x, y) определяется значениями параметров. Изменяя эти параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы.

Модель «конкурирующие виды»

Рассмотрим 2 вида животных, растений или бактерий, которые конкурируют друг с др. за продовольствие, доступное в их общей среде.

Обозначим за х(t), у(t) численности их популяций в момент времени t.

Предположим, что в отсутствии любых других видов данный вид имел бы ограниченную численность популяции, в отсутствие любого взаимодействия или конкурирующего вида численности их популяций удовлетворяли бы дифференциальному уравнению:

(5)

Предположим, что конкуренция влияет на скорость снижения числ.-ти любой популяции, которая пропорциональна произведению их численности х*у.

Добавим слагаемые с отрицательными коэффициентами пропорциональности - . В уравнениях (5) получим систему, описывающую конкуренцию:

(6)

В этой системе , , , , , положительные.

(7)

(0;0) (0; ) (;0) Предположим, что уравнение имеет единственное решение, и составим точки равновесия в первом квадранте. Надо найти точку (), эта точка представляет возможность сосуществования двух видов с постоянными не равными 0, равновесными численными популяций и . Устойчивость этой точки зависит от того, какое из равенств выполняется:

(8)

(8) имеет единственную интерпретацию.

Из (5) видно, что коэффициенты и оказывают задерживающее влияние на рост численности каждой популяции. С другой стороны, и представляют эффект конкуренции м/у этими двумя популяциями, следовательно, произведение - это мера подавления, а - мера конкуренции.

Общий анализ системы (6) показывает следующее:

1. Если так, что конкуренция незначительна по сравнению с подавлением, то точка ) – устранимая точка равновесия, которая приближает каждое решение при t , т.о. оба вида могут сосуществовать.

2. Если так, что конкуренция доминирует, то точка ) – неустойчивая точка равновесия и либо х(t) , либо у(t) при t , т.е. 2 вида не могут сосуществовать

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности