Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

11. .

12.

Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

13. . 14 .arctg 1,02.

15. 16. .

17. Найти точное и приближенное изменение объёма шара при изменении его радиуса с до

Правило Лопиталя – Бернулли.

8.1 Раскрытие неопределенностей типа и .

Пусть и -дифференцируемые функции, причем .

Если и являются бесконечно малыми или бесконечно большими при , тогда

(29)

при условии, что предел отношения производных существует. При необходимости формула (29) может быть применена к полученным отношениям несколько раз.

Пример 13

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае . При имеем неопределенность типа . Применяя правило Лопиталя - Бернулли, получаем:

Ответ:

8.2 Раскрытие неопределенности типа .

Для раскрытия неопределенности типа преобразуем произведение , где , , в частное:

или (30)

и далее воспользуемся правилом Лопиталя – Бернулли (29).

Пример 14

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае . При имеем неопределенность типа . Преобразуем произведение в частное

В результате получили неопределенность типа .

Применяя правило Лопиталя - Бернулли, получаем:

.

Ответ:

8.3 Раскрытие неопределенности типа .

Для раскрытия неопределенности типа разность преобразуем в произведение:

(31)

Если , то произведение (31) может быть преобразовано в частное:

(32)

Предел (32) представляет собой неопределенность типа и может быть вычислен с помощью правила Лопиталя – Бернулли (29).

Пример 15

Вычислить предел .

Решение:

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, согласно изложенной схеме:

Для упрощения вычислений воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых при :

Тогда Ответ:

8.4 Раскрытие неопределенностей типа .

Неопределенности указанного типа раскрываются с помощью предварительного логарифмирования:

(33)

В результате получаем неопределенность типа (см. пункт 8.2).

Пример 16

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае

,

,

т.е. имеем неопределенность типа .

Прологарифмируем функцию, стоящую под знаком предела и преобразуем полученное выражение в частное:

.

Получили неопределенность типа . Вычислим полученный предел, используя правило Лопиталя – Бернулли (29):

Таким образом, получаем

.

Следовательно,

Ответ:

Задания 6. Найти пределы, используя правило Лопиталя – Бернулли:

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров