Диффернцирование функции одной переменной.

12.	13.
14.	15.

Дифференциал функции.

Вычисление дифференциала.

Приращение функции может быть представлено в виде

(18)

Произведение , представляющее собой, так называемую главную часть приращения, линейную относительно , называют дифференциалом

функции и обозначается следующим образом:

(19)

Правила вычисления дифференциала имеют вид:

(20)

(21)

(22)

(23)

Пример 8

Найти дифференциал функции

Решение:

Для того, чтобы вычислить дифференциал по формуле (19), найдем производную заданной функции:

Тогда,согласно (19) получаем:

Ответ:

Пример 9

Найти дифференциал функции, заданной неявно:

Решение:

Для того, чтобы вычислить дифференциал по формуле (19), найдем .

Воспользуемся правилом вычисления производной, приведенным в 3.

а) вычисляем производные от обеих частей заданного уравнения, считая при этом функцией от :

б) приравниваем полученные производные:

в) решаем полученное уравнение относительно :

Тогда,согласно (19) получаем:

Ответ: .

Пример 10

Насколько приблизительно изменилась сторона квадрата, если его площадь увеличилась от 9 м² до 9,1м²?

Решение:

Обозначим через площадь квадрата, а через - его сторону.

Тогда

По условию ;

Приращение стороны квадрата найдем согласно (24).

Тогда

.

Ответ: Сторона квадрата увеличилась приблизительно на 0,016 м.

Пример 11

Найти приближенное значение .

Решение:

Воспользуемся формулой (25). В данном случае . В качестве выберем . Тогда , .

Найдем :

Тогда, согласно (25) получаем:

Ответ: .

Пример 12.

Вычислить в случае если а) -независимая переменная; б)

Решение:

а) -независимая переменная

тогда, согласно (26)

б)

По формуле (27) получаем

Ответ: а) б)

11. .

12.

Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

13. . 14 .arctg 1,02.

15. 16. .

17. Найти точное и приближенное изменение объёма шара при изменении его радиуса с до

Пример 13

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае . При имеем неопределенность типа . Применяя правило Лопиталя - Бернулли, получаем:

Ответ:

8.2 Раскрытие неопределенности типа .

Для раскрытия неопределенности типа преобразуем произведение , где , , в частное:

или (30)

и далее воспользуемся правилом Лопиталя – Бернулли (29).

Пример 14

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае . При имеем неопределенность типа . Преобразуем произведение в частное

В результате получили неопределенность типа .

Применяя правило Лопиталя - Бернулли, получаем:

.

Ответ:

8.3 Раскрытие неопределенности типа .

Для раскрытия неопределенности типа разность преобразуем в произведение:

(31)

Если , то произведение (31) может быть преобразовано в частное:

(32)

Предел (32) представляет собой неопределенность типа и может быть вычислен с помощью правила Лопиталя – Бернулли (29).

Пример 15

Вычислить предел .

Решение:

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, согласно изложенной схеме:

Для упрощения вычислений воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых при :

Тогда Ответ:

8.4 Раскрытие неопределенностей типа .

Неопределенности указанного типа раскрываются с помощью предварительного логарифмирования:

(33)

В результате получаем неопределенность типа (см. пункт 8.2).

Пример 16

Вычислить предел .

Решение:

В данном случае

,

,

т.е. имеем неопределенность типа .

Прологарифмируем функцию, стоящую под знаком предела и преобразуем полученное выражение в частное:

.

Получили неопределенность типа . Вычислим полученный предел, используя правило Лопиталя – Бернулли (29):

Таким образом, получаем

.

Следовательно,

Ответ:

Задания 6. Найти пределы, используя правило Лопиталя – Бернулли:

Пример 17

Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой равна .

Решение:

Найдем значение функции в точке :

Найдем производную заданной функции в точке

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Ответ: Уравнение касательной:

Уравнение нормали: .

Пример 18

Написать уравнения касательной и нормали, длины касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса

в точке , для которой .

Решение:

Найдем как производную функции, заданной параметрически по формуле (10):

Найдем координаты точки касания : и значение производной в точке касания :

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Найдем координаты точки пересечения касательной с осью :

Длина касательной равна длине отрезка :

Согласно определению, подкасательная равна

Где угол – угол между касательной и осью . Поэтому, - угловой коэффициент касательной, равный

Таким образом, подкасательная равна

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Найдем координаты точки пересечения нормали с осью :

Длина нормали равна длине отрезка :

Согласно определению, поднормаль равна

Где угол – угол между нормалью и осью . Поэтому, - угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому, поднормаль равна:

Ответ: Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Длина касательной ; подкасательная ;

Длина нормали ; поднормаль

Задания 7. Написать уравнения касательной и нормали:

.

.

.

.

Пример 20

Найти экстремумы функции .

Решение:

Найдем производную заданной функции

Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем знак производной, используя метод интервалов.

знак

12345Следующая ⇒

Поделиться:

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?