Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 23 из 37Следующая ⇒

Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).

В случае стационарных электрических и магнитных полей ( и ) система уравнений Максвелла (1) – (4) распадается на систему

уравнений электростатики:

, , (25)

и уравнений магнитостатики:

, , , (26)

а граничные условия остаются те же.

Пример

В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле . Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при =0 имеют вид:

, , (27)

Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению

(28)

причём = - , - . В однородном диэлектрике =const, поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа =0.

Граничное условие (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:

при r = R (29)

Здесь – решение уравнения вне сферы, а – внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала

= (30)

Это условие можно получить, рассматривая интеграл по контуру, изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением , находим

Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что

где элемент направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора также непрерывны.

Для решения поставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля .

Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал должен удовлетворять условию

при .

Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра :

,

.

Здесь потенциал нормирован так, чтобы при . Так как , то из условия на бесконечности находим .

Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем

=0 при (l =0),

при (l =1),

при (l >1).

Из этих уравнений находим

, .

Все остальные коэффициенты равны нуля, если .

Таким образом, решение задачи имеет вид:

(30)

Используя формулу , вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы

С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:

(31)

(32)

где - объём сферы.

Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным моментом . Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле с напряжённостью

(33)

Полная напряжённость внутри шара

(34)

Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля , которое называется деполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.

Приложение.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности