Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Другими словами, пусть , . Тогда

. (1)

Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональныхвекторов равно нулю, а скалярный квадрат единичного вектора равен 1, получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть . Тогда .

Доказательство. Эта формула нам уже известна. Здесь ее можно получить, используя равенство (1), в котором положим :

,

откуда и следует доказываемая формула.

Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть , . Тогда

.

Доказательство. Очевидно.

Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию

1) , где -- угол между a и b и, если , то еще двум условиям:

2) вектор c ортогонален векторам a и b;

3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).

1. Векторное произведение антикоммутативно, то есть

В другой формулировке: если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное.

Доказательство. Пусть , . Нужно показать, что . Из условия 1 следует, что . Если , то очевидно, что . Если , то векторы c и d -- коллинеарны, так как оба лежат на прямой, ортогональной плоскости векторов a и b. Таким образом, остаются только две возможности: или . Пусть вектор совпадает с вектором . Тогда в силу условия 3 из конца одного и того же вектора и поворот от a к b, и поворот от b к a по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки, что невозможно. Следовательно, .

2. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b -- коллинеарные.

Доказательство. Из определения векторного произведения получим, что тогда и только тогда, когда , или , или . Из последнего равенства получим, что или , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.

3. Для любых векторов a и b и любого числа выполняется равенство .

Доказательство. Если , то утверждение очевидно. Если векторы a и b -- коллинеарные, то векторы и b -- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю.

Пусть , a, b -- неколлинеарные, , . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами и b, равны. Следовательно,

то есть . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, .

4. Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть .

5. Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения,

Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле

Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения.

Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.

6. Векторное произведение не является ассоциативным, то есть существуют такие векторы a, b, c, что .

Доказательство. Пусть a и b -- любые неколлинеарные векторы, . Тогда вектор , кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы и c -- неколлинеарные, поэтому . Поэтому . Получили, что .

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

Доказательство. По определению . В силу свойства скалярного произведения тогда и только тогда, когда векторы a и ортогональны. Если , то вектор ортогонален плоскости векторов b, c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b, c

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:

Система координат.

Сист. коорд. в аффинном пр-ве нзв. точка О (начало коорд)

и базис в пр-ве векторов.

Часто сист. коорд. на пл-ти задают двумя

пересекающимися прямыми, начало коорд. есть точка

пересечения прямых, а базисные векторы имеют

единичную длину и //ны соответ. прямым. Если

выбрана сист. коорд., то каждая точка Р получает коорд.:

это коорд. вектора, идущего из начала в эту точку,

подсчитанные в выбранной базе.

ОР = aα + bβ

α

β O Р

u cmV2LnhtbEyPQU/DMAyF70j8h8hI3La0ZRqjNJ0QY2fEAIlj1pi2kDhVkm3tv8c7sZvt9/T8vWo9 OiuOGGLvSUE+z0AgNd701Cr4eN/OViBi0mS09YQKJoywrq+vKl0af6I3PO5SKziEYqkVdCkNpZSx 6dDpOPcDEmvfPjideA2tNEGfONxZWWTZUjrdE3/o9IDPHTa/u4NTEG378jN9Tn5TmDBttvELX/OF Urc349MjiIRj+jfDGZ/RoWamvT+QicIqmOXL1T17FdzlXOrsyIoFT3u+POQg60pedqj/AAAA//8D AFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9U eXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9y ZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADNqlFv0AQAA9QMAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRy cy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhANvi7WTeAAAACwEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAATgQA AGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAABZBQAAAAA= " strokecolor="#4579b8 [3044]"/>

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров