Общее решение неоднородных систем

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Неоднородная система AX=B(3) B≠Θ

Однородная система всегда имеет хотябы одно решение(нулевое), неоднородная система может не иметь решений

Теорема Кронекера-Капелли: неоднородная система (3) явл совместной тогда и только тогда, когда выполнено условие (4)

Rank(A)=rank(A|B) (4)

A=(A[*|1],А[*|2]…A[*|n])

A|B=(A[*|1],…A[*|n],В)

Предположим, что (3) имеет решение, существует х^т=<x₁,…,x_n> при подстановке х^т в (3) получим тождество AX=X₁[*|1]+…+A[*|n]=B(5)

Из формулы (5) следует,что столбцы матрицы А и расширенной матрицы образуют эквивалентные системы.Каждый вектор А можно выразить через А|B.было доказано,что ранги эквивал систем совпадают, поэтому из существования решения вытекает формула (4). 2 часть док-ва: предположим,что имеет место равенство(4). Докажем существование решений.пусть обе матр имеют общий ранг r rank(A)=rank(A|B)=r, это означает,что в матрице А существует МЛНП состоящая из r столбцов.можем считать,что это первые r столбцов.Рассмотрим расширенную матрицу.её ранг r,в эту матрицу уже входят r лин.независ столбцов.Это означает.что они образуют МЛНП расширенной матрицы,поэтому столбец В есть лин комбинация x₁ A[*|1],…X₁A[*|r] из последнего равенства вытекает,что х₁,х₂…х_n,0,…,0 есть решение системы (3)

Теорема: общее решение системы (3) имеет вид:X(P₁,…,P_k)=X₀+Y(P₁,…,P_k) (6)

X0-частное решение

Y(P₁,…,P_k)= , k=n-r, r-ранг матр А и A|B

Докажем, что (6) даёт общее решение

1)A(X₀+Y())=AX₀+AY()=B+Θ=B-при любом наборе получ решение

2)если z-решение,то AZ=B, A(Z-X₀)=B-B=Θ, поэтому z-x₀ – решение однор системы.а любое решение однор системы представимо в виде

Z-X₀=Y , Z=X₀+Y ) если система однор, то решения всегда есть(2),если не однородна, то надо выяснить совместна или нет (4)

Теорема. (Свойства скалярного произведения.)

1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:

, .

2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны:

или или .

3). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

.

4). .

Доказательство. Все свойства очевидны из определения и их доказательства предоставляются читателям.

Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)

1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:

, .

2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

, , .

Доказательство. По свойству 4 предыдущей теоремы и по свойству проекции вектора на вектор (на ось) имеем:

.

Второе свойство доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Замечание. Скалярное произведение можно рассматривать как числовую функцию от двух переменных, определенную на декартовом квадрате множества векторов :

,

т.е. , .

Тогда, свойства теоремы могут быть записаны так:

1) , ;

2) , , .

Первое из этих свойств называется свойством аддитивности функции f по первому аргументу, а второе – свойством однородности по первому аргументу. Если выполняются оба свойства, то говорят, что функция f линейна по первому аргументу. Отсюда происходит и название этих свойств скалярного произведения.

В силу коммутативности, скалярное произведение какфункция двух переменных линейна и по второму аргументу, т.е. справедливы еще два свойства:

3) , ;

4) , , .

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману