Закон изменения кинетической энергии

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 28Следующая ⇒

Изменение кинетической энергии жидкого объёма за единицу времени равно мощности всех внешних и внутренних (поверхностных и массовых) сил, действующих на этот объём жидкости. Кинетическая энергия бесконечно малого объёма жидкости равна , тогда кинетическая энергия конечного объёма будет равна:

. (6.5.1)

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы и скорости тела, на которое она действует. Например, на элементарный объём действует внешняя массовая сила с плотностью распределения , величина этой силы равна . Работа этой силы на перемещении равна

.

Мощность силы найдём как отношение совершаемой ею работы ко времени , за которое произойдёт перемещение объёма на расстояние . При этом скорость жидкого объёма равна . Следовательно, мощность внешней объёмной силы для элементарного объёма равна . Мощность этой силы при перемещении всего объёма :

. (6.5.2)

Рассуждая аналогично, найдём мощность внешних поверхностных сил, действующих на поверхность , ограничивающую объём :

, (6.5.3)

где - скорость жидкости на поверхности в точке, где выделен элемент .

Рассчитать работу внешних сил, как правило, не представляется возможным, так как она зависит от поля скорости внутри контрольного объёма, которое вообще говоря неизвестно. Поэтому введём функцию - плотность распределения мощности внутренних сил, т.е. работы, которая за единицу времени переходит в тепло и рассеивается (диссипирует) внутри объёма жидкости, имеющего единичную массу. Работа внутренних сил может только уменьшать кинетическую энергию, так как, переходя в энергию беспорядочного теплового движения молекул, соответствующая часть кинетической энергии объёма уже не участвует в дальнейшем балансе механической энергии. Обычно мощность внутренних сил называют диссипированной, а функцию e диссипативной. Уменьшение кинетической энергии объёма за счёт работы внутренних сил представим в виде:

. (6.5.4)

Знак минус вводится, чтобы функция e(х,у,z,t) была всегда положительной.

Приравнивая субстанциональную производную от кинетической энергии (6.5.1) сумме мощностей (6.5.2),(6.5.3) и (6.5.4), получаем уравнение, выражающее закон изменения кинетической энергии:

. (6.5.5)

Если уравнение (6.5.5) используют для решения одномерных задач, то его представляют в виде различных модификаций уравнения Бернулли. Закон изменения кинетической энергии в виде дифференциального уравнения не используется, так как оно эквивалентно дифференциальному уравнению, выражающему закон изменения количества движения.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

В дополнение к закону изменения кинетической энергии, выражающему баланс механической энергии, рассмотрим более общий случай, принимая во внимание изменение механической энергии за счёт её источников (стоков), содержащихся внутри контрольного объёма, и баланс внутренней энергии (тепла).

Рис.6.3. Контрольный объём для формулировки закона сохранения энергии

Пусть в контрольном объёме , который выделен на рис. 6.3. контрольной поверхностью , указанной штриховой линией установлена турбина, которую вращает набегающий поток, отдавая ей мощность N_i (поток совершает работу N_i в единицу времени). Индекс i означает, что устройств, изменяющих механическую энергию потока, может быть несколько. Если вместо турбины установить насос, то соответствующая мощность насоса увеличит механическую энергию потока, так что знак N_i зависит от функции устройства внутри контрольного объёма. Запишем при этом уравнение, выражающее баланс механической энергии:

. (6.6.1)

Рассмотрим баланс тепла в контрольном объёме. Пусть - количество внутренней энергии жидкости (теплоты) внутри контрольного объёма, а - плотность её распределения в пространстве, т.е. удельная внутренняя энергия жидкости (на единицу массы). Тогда

. (6.6.2)

Чем могут быть вызваны изменения внутренней энергии жидкости внутри контрольного объёма? Возможны следующие причины:

наличие внутри объёма источников тепла, подводимого извне, с плотностью распределения t(r,t) (на единицу объёма в единицу времени);

присутствие на граничных поверхностях источников тепла с плотностью распределения s(r,t) (на единицу площади в единицу времени);

работа внутренних сил в жидкости, например, за счёт вязкости; плотность распределения мощности внутренних сил e(r,t).

Баланс тепла для жидкости, содержащейся в контрольном объёме в момент времени t, имеет вид

. (6.6.3)

Складывая (6.6.1) и (6.6.3), получаем уравнение, выражающее общий закон сохранения энергии для контрольного объёма сплошной среды (6.6.4):

.

Как следует из полученного соотношения, работа внутренних сил не изменяет полную энергию системы жидких частиц: она уменьшает механическую энергию и увеличивает тепловую.

Для перехода к Эйлерову неподвижному объему используется теорема о дифференцировании по времени функции, как интеграла по подвижному объему:

здесь А – скалярная или векторная функция.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США