Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 41 из 65Следующая ⇒

Переходим к рассмотрению следующего типа дробей:

, , , (коэффициенты a и c не равны нулю).

На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:

Пример 5

Пример 6

Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в Примере 6 сначала необходимо представить знаменатель (2 x ²-5) в виде , а потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой .

Попробуйте самостоятельно решить примеры №№ 7 и 8, тем более, что они достаточно короткие.

Пример 7

Найти неопределенный интеграл:

.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл:

.

Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то Ваши навыки дифференцирования на высоте.

Метод выделения полного квадрата

Интегралы вида

,

(коэффициенты a и b не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата.

На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:

или .

Формулы применяются именно в таком направлении, то есть идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их, соответственно, в либо .

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

.

Это простейший пример, в котором при слагаемом x ² – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).

Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:

.

Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:

Теперь можно применить формулу :

После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет.

Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

.

Что делать, когда перед x ² находится минус? В этом случае нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!

Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку прибавить:

Тут получилась формула , применяем:

ВСЕГДА выполняем на черновике проверку:

что и требовалось проверить.

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Усложняем задачу.

Пример 12

Найти неопределенный интеграл:

Здесь при слагаемом x ² уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».

(1) Если при x ² находится константа, то её сразу выносим за скобки.

(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.

(3) Очевидно, что всё сводится к формуле .

Надо разобраться в слагаемом 2 ab, а точнее, найти величину b получить «двойку».

(4) Как видим, здесь b = (2/5). Значит, к выражению прибавляем (2/5)² = (4/25), и эту же дробь вычитаем.

(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить (7/5)-(4/25), но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма

,

и действие (7/5)-(4/25) выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.

(6) Собственно, можно применить формулу ,

только вместо «икс» у нас x +(2/5), что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию x +(2/5) следовало подвести под знак дифференциала:

,

но, как уже неоднократно отмечалось, этим часто пренебрегают.

(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы, но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.

Познавательные статьи:



Техника нижней прямой подачи мяча

Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса

Стандарт Порядок надевания противочумного костюма

Общеразвивающие упражнения без предметов