Линеаризация степенной функции

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 18Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

(72)

проводят путем логарифмирования обеих частей уравнения, получая уравнение вида:

(73)

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

(74)

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

(75)

Также можно использовать уравнения:

(76)

(77)

Рассчитав параметры , и составив линейное уравнение регрессии необходимо провести его потенцирование, чтобы вернуться к степенной функции.

(78)

Пример 13. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятиям сферы торговли. Рассчитать степенную функцию

Таблица 31.

№
	37,8	0,3
	38,0	0,5
	39,0	0,7
	37,5	0,8
	39,5	0,9
	36,8	1,1
	40,0	1,3
	40,1	1,6
	40,0	1,7
	39,0	2,2
	38,0	2,5
	41,0	2,6
	41,6	2,7
	41,0	3,0
	41,9	3,2

Решение. Для расчета параметров данной функции проведем ее линеаризацию, прологарифмировав обе части уравнения

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

В таблице 32 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 32

№
	37,80	0,30	1,577492	-0,522879	-0,824837	37,183851
	38,00	0,50	1,579784	-0,301030	-0,475562	37,910774
	39,00	0,70	1,591065	-0,154902	-0,246459	38,397333
	37,50	0,80	1,574031	-0,096910	-0,152539	38,592153
	39,50	0,90	1,596597	-0,045757	-0,073056	38,764817
	36,80	1,10	1,565848	0,041393	0,064815	39,060772
	40,00	1,30	1,602060	0,113943	0,182544	39,308870
	40,10	1,60	1,603144	0,204120	0,327234	39,619441
	40,00	1,70	1,602060	0,230449	0,369193	39,710581
	39,00	2,20	1,591065	0,342423	0,544817	40,100534
	38,00	2,50	1,579784	0,397940	0,628659	40,295293
	41,00	2,60	1,612784	0,414973	0,669262	40,355237
	41,60	2,70	1,619093	0,431364	0,698418	40,413002
	41,00	3,00	1,612784	0,477121	0,769493	40,574705
	41,90	3,20	1,622214	0,505150	0,819461	40,674075
Итого	591,20	25,10	23,929804	2,037398	3,301443	590,961438
В среднем			1,595320	0,135827	0,220096
				0,089930

Подставим полученные значения в уравнение

Выполним потенцирование полученного уравнения

Подставляя в полученное уравнение значение фактора , рассчитаем .

Линеаризация показательной функции

Показательная функция

(79)

также проводят путем логарифмирования обеих частей уравнения:

(80)

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

(81)

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

(82)

Также можно использовать уравнения:

(83)

(84)

Рассчитав параметры , и составив линейное уравнение регрессии необходимо провести его потенцирование, что бы вернуться к показательной функции.

(85)

Пример 14. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятиям сферы торговли. Рассчитать показательную функцию

Таблица 33

№
	37,8	0,3
	38,0	0,5
	39,0	0,7
	37,5	0,8
	39,5	0,9
	36,8	1,1
	40,0	1,3
	40,1	1,6
	40,0	1,7
	39,0	2,2
	38,0	2,5
	41,0	2,6
	41,6	2,7
	41,0	3,0
	41,9	3,2

Решение. Для расчета параметров данной функции проведем ее линеаризацию, прологарифмировав обе части уравнения

Обозначив через , получим линейное уравнение регрессии:

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:

В таблице 34 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 34

№
	37,80	0,30	1,577492	0,473248	37,806262
	38,00	0,50	1,579784	0,789892	38,032035
	39,00	0,70	1,591065	1,113745	38,259157
	37,50	0,80	1,574031	1,259225	38,373226
	39,50	0,90	1,596597	1,436937	38,487635
	36,80	1,10	1,565848	1,722433	38,717477
	40,00	1,30	1,602060	2,082678	38,948692
	40,10	1,60	1,603144	2,565031	39,298106
	40,00	1,70	1,602060	2,723502	39,415272
	39,00	2,20	1,591065	3,500342	40,006365
	38,00	2,50	1,579784	3,949459	40,365268
	41,00	2,60	1,612784	4,193238	40,485616
	41,60	2,70	1,619093	4,371552	40,606323
	41,00	3,00	1,612784	4,838352	40,970608
	41,90	3,20	1,622214	5,191085	41,215278
Итого	591,20	25,10	23,929804	40,210718	590,987319
В среднем		1,673333	1,595320	2,680715
		0,867289

Получили линеаризованное уравнение

Произведем потенцирование линейного уравнения для возврата к показательной функции.

Подставим в полученное уравнение значения фактора , рассчитаем значения .

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров