Линеаризация полиномов разных степеней

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 18Следующая ⇒

Проводится следующим образом.

В параболе второй степени,

(61)

заменяя переменные , получим двухфакторное линейное уравнение регрессии:

(62)

В параболе третьей степени,

(64)

заменяя переменные , получим трехфакторное линейное уравнение регрессии:

(65)

Аналогичным образом поступим с полиномами более высоких порядков.

Из полиномов наибольшее распространение получила парабола второго порядка.

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной параболе второго порядка дает следующую систему уравнений:

(66)

Пример 11. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятиям сферы торговли. Рассчитать функцию регрессии параболы второго порядка

Таблица 27

№
	37,8	0,3
	38,0	0,5
	39,0	0,7
	37,5	0,8
	39,5	0,9
	36,8	1,1
	40,0	1,3
	40,1	1,6
	40,0	1,7
	39,0	2,2
	38,0	2,5
	41,0	2,6
	41,6	2,7
	41,0	3,0
	41,9	3,2

Решение. МНК для расчета параметров параболы второго порядка дает систему уравнений:

В таблице 28 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 28

№
	37,80	0,30	0,09	0,027	0,0081	11,34	3,402	38,023560
	38,00	0,50	0,25	0,125	0,0625	19,00	9,500	38,158005
	39,00	0,70	0,49	0,343	0,2401	27,30	19,110	38,307508
	37,50	0,80	0,64	0,512	0,4096	30,00	24,000	38,387907
	39,50	0,90	0,81	0,729	0,6561	35,55	31,995	38,472071
	36,80	1,10	1,21	1,331	1,4641	40,48	44,528	38,651694
	40,00	1,30	1,69	2,197	2,8561	52,00	67,600	38,846375
	40,10	1,60	2,56	4,096	6,5536	64,16	102,656	39,166634
	40,00	1,70	2,89	4,913	8,3521	68,00	115,600	39,280917
	39,00	2,20	4,84	10,648	23,4256	85,80	188,760	39,908803
	38,00	2,50	6,25	15,625	39,0625	95,00	237,500	40,330713
	41,00	2,60	6,76	17,576	45,6976	106,60	277,160	40,478879
	41,60	2,70	7,29	19,683	53,1441	112,32	303,264	40,630810
	41,00	3,00	9,00	27,000	81,0000	123,00	369,000	41,109192
	41,90	3,20	10,24	32,768	104,8576	134,08	429,056	41,446938
Итого	591,20	25,10	55,01	137,573	367,7897	1004,63	2223,131	591,200005

Подставим эти значения в систему уравнений.

Разделим каждое из уравнений системы на число при , первое на 15, второе на 25,01 и третье на 55,01.

Далее вычтем из 5-го уравнения 4-е, и из 6-го уравнения 5-е. система примет вид:

Разделим каждое уравнение на число при , 7-е на 0,5183, а 8-е на 0,30924

Вычтем из 10-го уравнения 9-е

Значение параметра

Подставим значение параметра в уравнение (9) и найдем значение параметра

Подставим значение параметров в уравнение (1) и найдем значение параметра

Подставим параметры в уравнение

Подставляя в полученное уравнение и рассчитаем теоретические значения , занесем их в последний столбик таблицы.

Линеаризация равносторонней гиперболы

(67)

проводят, заменяя на , в результате получим уравнение линейной регрессии:

(68)

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной равносторонней гиперболе дает следующую систему уравнений:

(69)

Также можно использовать уравнения:

(70)

(71)

Пример 12. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятиям сферы торговли. Рассчитать функцию регрессии равносторонней гиперболы

Таблица 29

№
	37,8	0,3
	38,0	0,5
	39,0	0,7
	37,5	0,8
	39,5	0,9
	36,8	1,1
	40,0	1,3
	40,1	1,6
	40,0	1,7
	39,0	2,2
	38,0	2,5
	41,0	2,6
	41,6	2,7
	41,0	3,0
	41,9	3,2

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной равносторонней гиперболе дает следующую систему уравнений:

В таблице 30 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 30

№
	37,80	0,30	3,333333	126,000000	11,111111	36,808395
	38,00	0,50	2,000000	76,000000	4,000000	38,266516
	39,00	0,70	1,428571	55,714286	2,040816	38,891425
	37,50	0,80	1,250000	46,875000	1,562500	39,086709
	39,50	0,90	1,111111	43,888889	1,234568	39,238597
	36,80	1,10	0,909091	33,454545	0,826446	39,459524
	40,00	1,30	0,769231	30,769231	0,591716	39,612474
	40,10	1,60	0,625000	25,062500	0,390625	39,770204
	40,00	1,70	0,588235	23,529412	0,346021	39,810409
	39,00	2,20	0,454545	17,727273	0,206612	39,956611
	38,00	2,50	0,400000	15,200000	0,160000	40,016262
	41,00	2,60	0,384615	15,769231	0,147929	40,033086
	41,60	2,70	0,370370	15,407407	0,137174	40,048664
	41,00	3,00	0,333333	13,666667	0,111111	40,089168
	41,90	3,20	0,312500	13,093750	0,097656	40,111951
Итого	591,20	25,10	14,269937	552,158190	22,964285	591,199995

Подставим полученные значения в систему уравнений

Разделим первое уравнение на 15, а второе на 14,269937

Вычтем из второго уравнения первое

Подставим значение параметра в первое уравнение и рассчитаем параметр

Уравнение регрессии примет вид

Подставляя в полученное уравнение регрессии значение , рассчитаем .

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США