Институт информационных и телекоммуникационных технологии

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 9Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ К.И.САТПАЕВА

Институт информационных и телекоммуникационных технологии

Кафедра «Математика»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

ДИСЦИПЛИНЫ СТУДЕНТА

по дисциплине «Математика»

для специальности – 5В042000 – «Архитектура»

Алматы 2011

Аннотация Кредитная технология обучения предполагает переход от пассивных форм обучения к активной творческой работе, усилению индивидуального подхода, развитию творческих способностей обучаемых путем расширения их самостоятельной работы. Предложенный УМК ДС помогает реализовать эти цели. В ясной, четкой форме расписано, что надо изучать и освоить, представлен график реализации контроля и самостоятельного усвоения материала. Предусмотрено планомерное изучение материала, возможность доработать материал, не усвоенный на лекциях и практических занятиях. УМК ДС обеспечивает студентов полным комплексом организационно-методического материала для изучения дисциплины. Студенты имеют возможность рационально, грамотно, планомерно построить самостоятельную работу, подготовку к лекциям, к практическим занятиям, использовать литературу и разработки

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ – Syllabus

1.1 Данные о дисциплине:

Название: Математика

Количество кредитов: 2

1.2 Пререквизиты: знание курса арифметики, алгебры, геометрии на уровне учебной программы средней школы.

1.3 Постреквизиты: все общеобразовательные инженерные дисциплины и дисциплины, читаемые выпускающими кафедрами.

1.5 Описание дисциплины

Цели и задачи дисциплины:

- изучение основных понятий высшей математики и их приложений в различных областях;

- овладение фундаментальными понятиями, законами и теориями классической и современной математики, приемами и методами решения конкретных задач;

-умения использовать изученные математические методы;

- развитие математической интуиции;

- воспитание математической культуры;

- формирование научного мировоззрения и логического мышления.

Выпускники высших инженерно – технических учебных заведений должны:

- уметь строить математические модели;

- уметь ставить математические задачи;

- уметь подбирать подходящие математические методы и алгоритмы решения задачи;

- уметь применять для решения задачи численные методы с использованием современной вычислительной техники;

- уметь проводить качественные математические исследования;

- уметь на основе проведенного математического анализа выработать практические рекомендации.

Контроль и оценка знаний.

Рейтинг каждой дисциплины оценивается по 100 - бальной шкале.

Распределение рейтинговых баллов по видам контроля

Оценка знаний студентов

Модуль- 3

Дифференциальные уравнения.

45. Из каких условий можно получить формулы для определения коэффициента линейной зависимости?

46. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, записанной через дифференциалы.

47. Дайте определение однородной функции степени .

48. Каким способом можно решить линейное дифференциальное уравнение 1- порядка?

49. Напишите общий вид линейного однородного уравнения второго порядка.

50. Типы уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.

Вопросы для подготовки к промежуточной аттестации:

1. В каком случае возможно умножение двух матриц?

2. Перечислите основные свойства скалярного и векторного произведений.

3. В чем заключается механический смысл скалярного произведения?

4. Условие перпендикулярности прямых на плоскости.

5. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при

стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

6. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?

7. Основные теоремы о пределах функций.

8. Какие точки называются точками разрыва функции.

9. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.

10. Каков механический и геометрический смысл производной?

11. Сформулируйте теорему Лагранжа. Геометрический смысл.

12. Формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.

13. В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала функции?

14. На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?

15. Два правила для отыскания экстремумов функции.

16. Вычисление несобственного интеграла от разрывных функций.

17. Вычисление площади поверхности вращения.

18. Общее решение линейного дифференциального уравнения.

19. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными?

20. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

2. содержание Активного раздаточного материала

2.1 Тематический план курса

Наименование темы	Количество академических часов
Лекция	Практи-ческие	СРСП	СРС
Модуль-1.Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
1. Линейная алгебра.Определители второго и третьего порядка, их свойства. Определители -го порядка. Матрицы и операции над матрицами, свойства матриц.
2. Обратная матрица. Ранг матрицы и методы ее вычисления. Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.
3. Векторная алгебра.Векторы, линейные опера-ции над векторами. Скалярное и векторное произ-ведения. Смешанное произведение трех векторов.
4. Аналитическая геометрия. Различные уравнения прямой на плоскости. Плоскость.
5. Различные уравнения плоскости и прямой в R3. Взаимное расположение прямой и плоскости в R3. Приложения уравнения прямой в пространстве и уравнения плоскости.
6. Кривые второго порядка. Поверхности второго порядка.Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Канонические формы уравнений поверхностей второго порядка. Исследование поверхностей методом сечений.
Модуль-2.Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Интегральное исчисление функций одной переменной
7. Введение в анализ. Функция. Предел функции. Непрерывность. Вычисление пределов.
8. Производная, ее геометрический и физический смысл. Правила и формулы дифференцирования.
9. Исследование поведения функций и их графиков. Приложения дифференциального исчисления к геометрии
10. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
11. Методы интегрирования некоторых функций.
12. Определенный интеграл. Свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
13.Приложения определенного интеграла
14.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка.
15.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Всего

2.2. Конспект лекционных занятий

Лекция № 1. Линейная алгебра

Матрицы. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Свойства определителей

Определение. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Числа, стоящие в матрице, называются ее элементами и обозначаются переменной (буквой) с двумя индексами, первый из которых равен номеру строки, а второй - номеру столбца в пересечении которых находится данный элемент. Элементы матрицы обычно обозначаются малыми буквами, а сами матрицы - соответствующими заглавными. Если матрица задаётся перечислением своих элементов, то таблица элементов заключается в круглые или квадратные скобки.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной, а число строк (столбцов) этой квадратной матрицы называется ее порядком. Квадратная матрица – го порядка состоит из n² элементов.

Каждой квадратной матрице по о пределённому правилу сопоставляется число, которое называется определителем этой матрицы. Определитель, в отличие от матрицы обозначается вертикальными линиями:

Сформулируем правила вычисления определителей 1-го, 2-го, 3-го порядков.

1. Определителем матрицы 1-го порядка называется элемент этой матрицы. Например, если A=(5), то |A|=5.

2. Определителем матрицы 2-го порядка называется число

Определителем матрицы 3-го порядка называется число

Это правило называется правилом треугольников (Саррюса).

Определение: Транспонированной матрицей для матрицы A называется матрица A^T, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы A.

Диагональ, исходящая из левого верхнего угла матрицы, называется её главной диагональю.

Рассмотрим теперь свойства определителей, справедливые для определителей любого порядка.

1 ⁰. Определители квадратной матрицы A и её транспонированной A^T совпадают, т.е. |A|=|A^T|.

2⁰. При перемене местами двух строк (столбцов) матрицы, её определитель меняет свой знак на противоположный.

3 ⁰. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками(столбцами) равен 0.

4⁰. Если все элементы одной строки (столбца) квадратной матрицы умножить на число , то её определитель умножится на это число.

5⁰. Если квадратная матрица содержит нулевую строку (столбец), то её определитель равен 0.

6 ⁰. Если одна из строк определителя записывается в виде суммы двух строк (столбцов), то определитель записывается в виде суммы двух определителей, у которых на месте этой строки (столбца) стоят соответственно первые и вторые слагаемые. Остальные соответствующие строки (столбцы) всех трёх определителей равны.

7⁰. Если к одной строке(столбцу) матрицы прибавить другую её строку, умноженную на число , то определитель матрицы при этом не изменится.

Определение. Минором элемента называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания i-ой стоки и j-го стобца, на пересечении которых находится этот элемент.

Минор элемента определителя n-го порядка имеет порядок (n - 1). Будем его обозначать через .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется соответствующий минор, умноженный на т.е A_ij=(–1)^i+j M_ij, где i –номер строки и j -столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

8⁰. (Разложение определителя по элементам некоторой строки (столбца)). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единичные элементы, называется единичной матрицей. Она обозначается через:

Определитель единичной матрицы равен 1, т.е. |E|=1.

Над матрицами можно производить следующие операции: умножение на число, сложение, умножение матриц и нахождение обратной матрицы. Первые две операции называются линейными.

Определение. Произведением матрицы A размера m´n на число l, называется матрица B=lA размера m´n, каждый элемент b_ij которой равен la_ij.

Определение. Суммой матриц A и B одинакового размера называется матрица C=A+B того же размера, каждый элемент c_ij которой равен a_ij+b_ij.

Матрицы разного размера складывать нельзя.

Эти операции обладают свойствами:

а) коммутативности (A+B=B+A),

б) ассоциативности ((A+B)+C=A+(B+C)),

в) дистрибутивности (l(A+B)=lA+lB).

Операцию умножения матриц определим в два этапа.

Определение. Произведением матрицы A размера m´n на матрицу B размера n´k называется матрица C размера m´k, каждый элемент c_ij которой равен произведению i –ой строки матрицы A на i –ый столбец матрицы B, т.е.

Пример 4. Пусть , . Найдём матрицы AB и BA.

Мы видим, что AB¹BA, т.е. умножение матриц свойством коммутативности не обладает.

Единичная матрица E играет роль единицы при умножении на квадратную матрицу, т.е. для любой квадратной матрицы A верно равенство

AE=EA=A.

Произведение матриц соответствующих размеров обладает свойствами:

а) ассоциативности A (BC)=(AB) C;

б) дистрибутивности A (B+C)=AB+AC и (B+C) A=BA+CA.

Осн. лит.: 1, [5-33], 6, [12-42], 19, [52-58].

Доп. лит.: 30, [151-168]

Контрольные вопросы

1.Что такое определитель второго порядка, 3-го порядка? Укажите основные свойства определителей.

2.В чем отличие матрицы от определителя? Укажите действия над матрицами.

3.В каком случае возможно умножение двух матриц?

Ранг матрицы

Определение. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Он обозначается символом r(A) или rangA. r (A) – целое неотрицательное число, не превосходящее числа строк и столбцов матрицы A. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

Элементарными преобразованиями для матрицы A называются следующие её преобразования.

1. Перестановка строк или столбцов местами.

2. Умножение строки или столбца на ненулевой коэффициент.

3. Прибавление к одной строке или столбцу матрицы другой её строки или столбца, умноженной на некоторое число .

4. Зачёркивание нулевой строки или столбца матрицы.

Матрица B, полученная из A с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной ей и обозначается в виде A~B.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Теорема. Ранг треугольной матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Определение. Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:

 

Здесь переменные x₁,x₂,...,x_n называются неизвестными системы, числа a_ij, где i=1,2,…,m, j=1,2,…,n называются коэффициентами системы, а числа b₁,b₂,...,b_m– свободными членами.

Числа x₁,x₂,...,x_n, обращающие все уравнения системы в тождества, называются решением системы. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

В случае, если матрица A квадратная, матричная форма записи позволяет решить систему с использованием обратной матрицы A^-1.

Теорема. СЛАУ, имеющая квадратную невырожденную матрицу, имеет единственное решение, которое находится по формуле: X=A^-1B.

Метод решения СЛАУ с использованием соотношения X=A^-1B называется матричным методом решения.

Следствие. Пусть СЛАУ имеет квадратную матрицу A n -го порядка, |A|=D¹0. Пусть D_i – определитель матрицы системы, в которой вместо i -го столбца подставлен столбец свободных членов. Тогда эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам , . Эти формулы называются формулами Крамера.

Плоскость

Пусть плоскость проходит через три точки , и , не лежащие на одной прямой. Тогда векторы и являются направляющими для плоскости , подставив их координаты в уравнение с направляющими векторами, получим: .

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки.

Теорема. Любая плоскость в пространстве определяется своим общим уравнением вида , где , задает некоторую плоскость в пространстве.

Определение. Вектор , перпендикулярный плоскости , называется нормальным вектором этой плоскости.

Теорема о нормальном векторе плоскости. Вектор с координатами является нормальным для плоскости с уравнением в пространстве .

Следствие 1. Косинус угла между плоскостями

и

с нормальными векторами и находится по формуле:

.

Следствие 2. Эти плоскости перпендикулярны только в том случае, когда

.

Следствие 3. Эти плоскости параллельны только в том случае, когда

.

Если же , то плоскости и совпадают.

Пусть плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору . Возьмем на плоскости произвольную точку M(x,y,z) и составим вектор = . При любом расположении точки М на плоскости вектора и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю. =0. Тогда .

Это уравнение называется уравнением плоскости с нормальным вектором.

Пусть плоскость не проходит через начало координат и пересекает оси в точках с координатами и соответственно. Тогда уравнение этой плоскости имеет вид: .

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках

Теорема. Расстояние от точки до плоскости определяется формулой:

.

Осн. лит.: 1, [49-71], 9, [23-33]

Доп. лит.: 29, [199-206]

Контрольные вопросы

1. Условие параллельности плоскостей.

2. Условие перпендикулярности плоскостей.

3. Расстояние от точки до плоскости

Элементы поведения функции

Ограниченные величины и функции. Переменная величина называется ограниченной, если существует такое число , что все значения попадают в интервал . Иными словами, для всех значений выполняется неравенство

Для функции ограниченность означает выполнение неравенства при всех из области определения.

Возрастание и убывание функций на интервале. Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции

Четные и нечетные функции. Пусть задана функция с областью определения . Функция называется четной, если выполняется условие , функция называется нечетной, если

Определение. Число А называется пределом функции при , если для каждого найдётся такое d>0, что для всех выполняется неравенство , т. е.

.

Свойства функций, имеющих предел.

1) Предел постоянной функции равен этой постоянной, т. е. .

2) Если предел функции существует, то он единствен.

Первый замечательный предел

.

Второй замечательный предел

.

Непрерывность функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются три условия:

1) существует ;

2) существует ;

3) .

В символической форме это определение записывается так:

.

Теорема (о непрерывности монотонной функции). Пусть функция монотонна (монотонно возрастает или монотонно убывает) на отрезке [а, ] и принимает все значения из отрезка , тогда она непрерывна в каждой точке интервала (а, ), непрерывна в точке а справа и в точке слева.

Из этой теоремы следует, что все основные элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своей области определения, а во всех граничных точках области определения, принадлежащих ей, они непрерывны справа и слева. Это следует из того, что

любую точку из области определения основной элементарной функции можно включить в отрезок, где эта функция монотонна и принимает все значения из отрезка

.

Например, функция непрерывна во всех точках интервала (–1,1), непрерывна в точке справа и в точке слева, так как оно монотонно возрастает в и для

.

Теорема Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции

1) , 2) , 3) при . Также непрерывны в точке .

Теорема (непрерывность сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке и , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

 

Осн. лит.: 2, [86-126], 19, [162-180], 18, [46-189]

Доп. лит.: 30, [151-168].

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте определения предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

2.Первый замечательный предел. Сформулируйте определение числа е (второй замечательный предел).

3.Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции.

Выпуклость и точки перегиба

Определение. Функция y=f (x) называется выпуклой вниз (вверх) в интервале (a,b), если для любого x₀Î(a,b) значение функции в "хÎ(a,b) не меньше (не больше) соответствующей ординаты касательной к графику функции, проведенной в точке (x₀, f (x₀)).

Теорема. Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в (a,b). Эта функция выпукла вниз (вверх) на этом интервале тогда и только тогда, когда f ''(x)³0 (f ''(x) 0) "xÎ(a,b).

Определение. Точка х₀ называется точкой перегиба для функции
y = f (x), если в некоторой окрестности этой точки график функции лежит по разные стороны от касательной к графику, проведенной в точки х₀, т.е. для х>x₀, y_ф-y_k ³ 0, а для х < x₀, y_ф-y_k £ 0 или наоборот. Точку х₀, в которой имеется вертикальная касательная, называют точкой перегиба, если направления выпуклости функции по разные стороны от х₀ противоположны

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба)

Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в U(x₀)\{x₀} и непрерывна в х_0. Тогда → если → → точка → перегиба → то или не существует.

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в U(x₀)\{x₀} и непрерывна в x₀, где x₀ – критическая точка второго порядка. Тогда, если при x<x₀ и x>x₀, f ''(x) имеет разные знаки, то x₀ – точка перегиба этой функции. Если же при x<x₀ и x>x₀, знаки f ''(x) совпадают, x₀ – не точка перегиба.

Асимптоты графика функции

Определение. Прямая L называется асимптотой для кривой k, если расстояние от точки M на k до L стремится к нулю при удалении M в бесконечность (т.е. при |OM| ®¥)

Асимптоты графика функции y=f(x) (коротко говорят асимптоты функции) делятся на два вида:

1) вертикальные асимптоты, т.е. прямые, параллельные оси Оy, они имеют уравнения вида х=х₀;

2) наклонные асимптоты, т.е. прямые, не параллельные оси Оy; они имеют уравнения вида y=kx+b.

Теорема (о наклонной асимптоте). Прямая y=kx+b является правой (левой) наклонной асимптотой функции y=f (x) в том и только том случае, когда существуют (конечные) пределы

и .

Таблица основных неопределенных интегралов

1. . 2. . 3. . В частности, . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. .

 

Проверка любого интеграла из этой таблицы состоит в нахождении производной правой части.

Например. , т.к. .

Пример 1.

.

Пример 2. .

Осн. лит.: 2, [205-207], 21, [338-345], 18, [492-495]

7, [183-189]

Контрольные вопросы:

1. Что такое первообразная?

2. Дайте определение неопределенного интеграла.

3. Теорема о первообразных для одной функций

4. Таблица неопределенных интегралов

Формула Ньютона – Лейбница

Теорема 1. (Ньютона - Лейбница)

Пусть функция непрерывна в отрезке и функция есть ее первообразная на этом отрезке, тогда .

Часто разность здесь записывают в сокращенном виде: .

Пример 1.

.

 

Осн. лит.: 1, [5-33], 6, [12-42], 19, [52-58].

Доп. лит.: 30, [151-168].

Контрольные вопросы:

1. Определение определенного интеграла

2. Свойства определенного интеграла

3. Формула Ньютона-Лейбница

Планы практических занятий

Переменной.

Практическое занятие № 10. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Метод подстановки. Интегрирование по частям.

Задания: А3 – 8.1 [14], часть 1, № 1-8, А3 – 8.2 [14], часть 1, № 1-8, А3 – 8.4 [14], часть 1, № 1-4. А3 – 8.5 [14], часть 1, № 1-3.

Методические рекомендации. При нахождении неопределенных интегралов используются их свойства и таблица интегралов. Для приведения заданного интеграла к табличному применяется методы подведения

123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров