З-ча Коши для ур-ний с ч. п.

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

В обл. G Rⁿ рассм. д.у. с ч.п. 2-го порядка (1) с достаточно гладкими коэфф. В прос-ве Rⁿ зададим незамкнутую без самопересеч. пов-ть Г₀, опред. ур-ем g(x)=0 (2) где g C²(G), и кроме того, grad g(x)≠0, x G. Обозначим через Г=Г₀∩G, часть поверхн. расположена внутри обл. G. Будем предполагать, что обл. G представлена в виде G=G⁺∩Г∩G^-, где G⁺∩G^-= , а подобл. G⁺ и G^- не имеют общ. точек с поверхностью Г. На поверхн. Г зададим два усл. на неизвест. ф-цию (3), где ϕ₀(х) и ϕ₁(х) есть задан. на пов-ти Г, n=(n₁,…,n_n) есть ед. нормаль к пов-ти Г, - произв. по направл. нормами n, котор. опред. выр-ние: (4). Усл. (3) наз. нач. усл. З-ча Коши для д.у. (1) сост. в след.: найти ф-цию u C²(G), удовл. на G д.у. (1) и нач. усл. (3). При этом ф-ция u, уд-я требов., наз. классич. реш. з-чи Коши. Можно пок-ть, что для всех произв. ф-ций ϕ₀ и ϕ₁такое реш. сущ. В прост. случае, когда пов-ть Г₂ яв-ся пл-ю х₁₁= , постановка з-чи (1),(3) упр-ся:

L(u)=f(x) на обл. G, , (5), где x^’=(x_1,…,x_n-1). Возможны и др. разновидности з-чи Коши:

L(u)=f(x) на обл. G⁺, , (6). Преобр. з-чи Коши (1), (3). Для этого зафикс. т. х⁰ Г. Т.к. grad g=(g_x1,…,g_xn)≠0, на пов. Г, то одна из ч.п. g_x≠0 в этой т. Для опр-ти будем полагать, что g_xn(х⁰)≠0. На осн. теоремы о неявной ф-ции приходим к выводу, что сущ. такая окрестность u(х⁰) точки х⁰ в кот. ур-ние (2) однозн. разрешимо относ. перемен. х_n. Тогда пов. Г в окр. u(х⁰) предст. в виде ур-ния: x_n=F(x^’) (7). В дальнейшем будем полаг., что окр. u(х⁰) совпад. со всей обл. G. Запишем з-чу Коши (1), (3) в случ. (7): L(u)=f(x) на обл. G, , (8), где ψ_j(x^’)=ϕ(x^’, F(x^’)). Далее преобр. з-чу (8) примен. преобраз. y₁=x₁, y_n-1=x_n-1, t=g(x) (9). Преобразование (9) яв-ся невыр-м. Вычисл. первую ч.п. в д.у. (1) имеем: (10). Для 2-ой ч.п. имеем (11). Подст. (10) и (11) в д.у. (1) получими д.у. новых переменных где (12) дифф. оператор 2-го порядка по 1-му y=(y₁,…,y_n-1), C(y,t)=C(x₁,…,x_n-1,g(x))=f(x). (13). Если α(х)≠0 на обл. G, то разделив д.у. (12) на α, получим ур-ние типа Коши-Ковалевской с выд. перем. t: (14). Преобр. нач. усл. (3). Ур-ние (2) пов-ти Г с учётом замены (9) примет вид t=0. Поэтому 1-ое нач. усл. из (3) можно записать как (15). преобр. теперь 2-ое нач. усл., вычислив нор. произведение (4). После поделим ф-л (10) получим: (16). Добавив усл. (15) и (16) к д.у. (14), получ. постановку з-чи Коши (1),(3) в новых перем. на Ω (17) (18) где с наш. преобраз. (10) обл. G переходит в Ω. При этом поверх. Г предст. собой пл-ть многообр. ϒ на обл. Ω. Если пер. t интепретировать как время, то усл. (18) яв-ся усл. в нач. момент времени t=0. Усл. (3) наз. нач. усл. Т.о. если ф-ция (13) α(х)≠0 на обл. G, то з-ча Коши (1) и (3) преобр. в (17) и (18). Рассм. α(х)=0 во всем обл. G или в некотор. т. по-ти Г. В этом сл-е деление д.у (12) на α невозможно. Д.у. (12) вып. во всех т. обл. G в том числе и в т. пов-ти Г, т.к. каждая т. пов-ти Г яв-ся внутр. для G. В связи с этим расс. д.у. (12) на пов-ти Г при t=0: . Учитывая (19) и усл. (18) получ. необ-ое усл. разреш. з-чи Коши (1), (3): (20). Т.о если усл. (20) не вып. то з-ча Коши (1), (3) неразрешима. Усл (19) совп. с ур-нием хар-к (6.6). Поэтому вып. этого усл. означ., что пов-ть Г, опр-а ур-ние (2) яв-ся хар-кой пов. д.у. (1). Если же усл. (19) вып. в отдельных т. пов-ти Г, то это означ., что пов-ть Г в этих т. касается некоторой хар-кой пов-ти д.у. (1). В итоге мы пришли к выводу: если пов-ть Г на кот. заданы нач. усл. (3) совп. с хар-ой пов-ю д.у. (1) или кас. ее, то з-ча Коши (1), (3) требует учета доп. усл. разрешенности (20).

Теорема (Коши-Ковал.) Если д.у. (17) котор. b_ij,b₀,b_i,c_i,c,d C^w(Ω), а нач. ф-ции ψ₀, ψ С^w(ϒ), то для любой т. y₀ сущ. окр-ть Ω(ϒ) , в кот. сущ. ед-ое аналит. реш. з-чи Коши (17),(18). Отметим, что Т, гарант. сущ. любого реш. з-чи Коши в дост-о малой ок-ти пов-ти ϒ.

10. Корректная постановка з-чи Коши. Рассмотрим з-чу Коши для д.у. 2-го порядка с двумя независимыми переменными: на G (1)

(2)

Где G R², Г есть дважды гладкая линия в G,ψ и ϕ есть заданные ф-ции на линии Г.

V₁(Г) – прос-во нач. ф-ции ϕ, V₂(Г) - прос-во нач. ф-ции ψ, V(G) – прос-во ф-ций u, в котором ищется решение з-чи Коши (1), (2). Для класс. решений V(G)=C²(G). Кроме того, в зависимости от ситуации, будем полагать рассматриваемые прос-ва метрическими, или линейно нормированными.

Опр. Рассмотрим две з-чи Коши с различными нач. ф-ями:

Будем говорить, что решение з-чи Коши (10.1), (10.2) непрерывно зависит в прос-ве V от нач. ф-ции ϕ ₁, ψ V₂, если для любого ε>0 найдется такое δ>0, что из нер-в ρV₁(ϕ₁,ϕ₂)<δ, ρV₂(ψ₁,ψ₂)<δ, вытекает нер-во ρV(u₁,u₂)<ε.

Опр. Будем говорить, что з-ча Коши (10.1), (10.2) корректно поставлена в прос-вах V₁, V₂, V если вып. условия корректности:

1) для любых нач. ф-ций ϕ ₁, ψ V₂, сущ. решение и з-чи Коши (10.1), (10.2).

2) для любых нач. ф-ций ϕ ₁, ψ V₂, сущ. решение и з-чи Коши (10.1), (10.2) единственно.

3) решение и для з-чи Коши (10.1), (10.2) непрерывно зависит от нач. ф-ций ϕ ₁, ψ V_2.

Если не выполняются хотя бы одно из 3-х условий корректности, то будем говорить, что з-ча Коши не корректно поставлена. При не выполнении 3-го условия корректности з-чу Коши будем наз. неустойчивой по нач. данным.

Познавательные статьи:



Алгоритмические операторы Matlab

Конструирование и порядок расчёта дорожной одежды

Исследования учёных: почему помогают молитвы?

Почему терпят неудачу многие предприниматели?