Классические решения простейших ДУ-ий с частными производными

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Классические решения простейших ДУ-ий с частными производными

1. Общее решение простейшего гиперболического уравнения на плоскости. Рассмотрим гиперболическое ДУ-ие.

(1)., где функция Найдём её общее решение. Проинтегрируем уравнение (1) по x. В рез-те получаем, что , где С(у)-произвольная непрерывная функция переменной у. Далее интегрируя получаем ДУ по у, получаем, что . И теперь с учётом произвольности функции С(у) окончательно получаем общее решение ДУ (1) в виде (2), где и есть произвольно непрерывно дифференцируемые функции. На основании формулы (2) приходим у выводу, что ДУ (частный случай - при - ДУ-ия (1)) (3) имеет общее решение (4). ДУ-ие , (5), приводится к ДУ-ию (вида (3)) заменой , . Поэтому его общее решение определяет соотношением (6)

2. Нахождение решений уравнения Лапласа на плоскости. Полагая в ДУ-ии параметр а=i, где есть мнимая единица, получаем уравнение Лапласа (7). Пусть f(x) есть произвольная функция комплексного переменного z=x+iy на области . Выделим у неё действительную и мнимую части: f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Известно, что ф-ции u(x,y) и v(x,y) удовлетворяют системе Коши Римана , а также каждая из них удовлетворяет уравнению Лапласа (7). Это даёт способ нахождения частных решений данного ДУ-ия.

Пример 1. Рассмотрим аналитическую функцию комплексного переменного . Запишем комплексное число в виде , где . Тогда . В рез-те получаем такие решения уравнения Лапласа: ,

. Умножив функцию на числовой множитель , получим решение (8). Оно называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (7). Непосредственными вычислениями проверяем, что уравнение Лапласа в трёхмерном случае (9) имеет решение . Оно также называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (9).

Привидение к каноническому виду ДУ частных производных 2-го порядка

Рассм. ДУ (1),где ф-ция f опр. на обл-ти , . Приведем его к канон.виду с помощью невырожд. линейной замены незав-ых переменных. Произведём замену: (2), где матр. явл. транспонир.по отношению к матр преобр-ия . Сначала выч-им производн: , , . После подст-ки в (1) получаем: , где .Поэтому кажд коэфф совпадает с соотв-им коэфф квадр формы. А это значит, что если квадр форма с пом.-ю преобр , то ДУ 7.1с пом-ю преобр 7.2 прив к канон виду: Прив примеры ДУ в канон виде при n=3:

1)Эллиптич ур-ия 2)Гиперб ур-ия:

3)Парабол ур-ия

Примеры некорректно поставленных задач Коши

1)Зад. Коши для гиперб. ур-ния с нач. усл. на хар-ке.

Рассм. зад. Коши:

на (1)

(2)

где .

Предпол., что зад. Коши (1), (2) имеем реш. , облад. непрер. смешанной произв. в области . Т.к. линия принадлежит области, то ДУ (1) должно выполн. на линии, т.е.

.

Учитывая второе условие (2), получ. необх. Усл. разрешимости зад. Коши (1), (2)

. (3)

Если усл. (3) не вып., то зад. (1), (2) не имеет решение.

Построим реш. зад. Коши (1), (2), предполагая, что усл. (3) выполнено. Воспольз. общим реш. (5.2) ДУ (1), где ф-ции определим из начальных условий.

Из 1-го нач. усл. получим, что

.

Положим .

Тогда второго нач. усл. получ., что

.

Учитывая усл. разрешимости (3), получим соотношение . Т.о. произв. ф-ция удовл. усл. , .

Общий вид такой функции

,

где произвольная функция ,

Т.о., получено реш. зад. Коши (1), (2) в виде:

,

к-рое не единственно в силу произвольности функции .

В итоге приходипм к выводу, что задача Коши (1), (2) поставлена некорректно, т.к. не вып. 1-е или 2-е усл. корректности из опр. (10.2).

2)Зад. Коши для параболического уравн. с нач. усл. на хар-ке.

Рассмотрим задачу Коши

на , (4)

, , (5)

Предпол., что классич. реш. зад. (4), (5) сущ. для обл. . Т.к. линия принадл. данной обл., то ДУ (4) должно выпол. и на линии, т.е.

.

Третья смешанная задача.

в области , (10)

, , (11)

, . (12)

При постановке краевой задачи (10)-(12) на входящие в них функции должны быть наложены такие ограничения:

, ,

, .

Задача Штурма-Лиувилля

Рассмотр. краевую задачу для обыкновенных ДУ 2-ого порядка:

, , (1)

, , (2)

где - искомая функция, -числовой параметр, , , , .

Очевидно, что задача (1), (2) всегда имеет тривиальное (нулевое) решение, то есть .

Задача Штурма-Лиувилля состоит в том, чnобы найти такие числа , для которых существуют нетривиальные решения краевой задачи (1), (2). Числа называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные функции наз. собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля.

Таким образом, задача (1), (2) сводится к отысканию всех собственных значений и всех собственных функций.

Введем вспомогательный линейный оператор , называемый дифференциальным оператором Штурма-Лиувилля. Совокупность всех собственных значений называется спектром дифференциального оператора с граничными условиями (2). Задача (3.30), (3.31) содержит задачи трех родов:

первого рода: , , , ;второго рода: , , , ;

третьего рода: , , .

Теорема 1. Для задачи (1), (2) существует бесконечная последовательность собственных значений и соответствующая последовательность собственных функций , такая, что

, , (4)

, .

Теорема 2. Каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция с точностью до постоянного множителя.

Теорема 3. Для собственных функций ,соответствующих различным собственным значениям задачи (1), (2), выполнены условия ортогональности с весом на отрезке :

, где - символ Кронекера, - норма ф-ции .

Теорема 4. Собственные значения задачи (1), (2) вещественны.

Теорема 5. Все собственные значения задачи (1), (2) неотрицательны, то есть .

Теорема 6. Собственное значение может иметь только задачу 2-ого рода .

Классические решения простейших ДУ-ий с частными производными

1. Общее решение простейшего гиперболического уравнения на плоскости. Рассмотрим гиперболическое ДУ-ие.

(1)., где функция Найдём её общее решение. Проинтегрируем уравнение (1) по x. В рез-те получаем, что , где С(у)-произвольная непрерывная функция переменной у. Далее интегрируя получаем ДУ по у, получаем, что . И теперь с учётом произвольности функции С(у) окончательно получаем общее решение ДУ (1) в виде (2), где и есть произвольно непрерывно дифференцируемые функции. На основании формулы (2) приходим у выводу, что ДУ (частный случай - при - ДУ-ия (1)) (3) имеет общее решение (4). ДУ-ие , (5), приводится к ДУ-ию (вида (3)) заменой , . Поэтому его общее решение определяет соотношением (6)

2. Нахождение решений уравнения Лапласа на плоскости. Полагая в ДУ-ии параметр а=i, где есть мнимая единица, получаем уравнение Лапласа (7). Пусть f(x) есть произвольная функция комплексного переменного z=x+iy на области . Выделим у неё действительную и мнимую части: f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Известно, что ф-ции u(x,y) и v(x,y) удовлетворяют системе Коши Римана , а также каждая из них удовлетворяет уравнению Лапласа (7). Это даёт способ нахождения частных решений данного ДУ-ия.

Пример 1. Рассмотрим аналитическую функцию комплексного переменного . Запишем комплексное число в виде , где . Тогда . В рез-те получаем такие решения уравнения Лапласа: ,

. Умножив функцию на числовой множитель , получим решение (8). Оно называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (7). Непосредственными вычислениями проверяем, что уравнение Лапласа в трёхмерном случае (9) имеет решение . Оно также называется фундаментальным решением уравнения Лапласа (9).

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров