Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лекция 3. Дифференциальные уравнения второго порядка. Решение ду, допускающих понижение порядкаСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Оглавление
§ 7. Дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальное уравнение второго порядка Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка Задача Коши Общее решение дифференциального уравнения второго порядка Частное решение дифференциального уравнения второго порядка Пример § 8. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 1. Уравнение 2. Уравнение 3. Уравнение § 7. Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные. В частных случаях в уравнении могут отсутствовать x, Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае имеет вид:
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной:
Как и в случае уравнения первого порядка, для такого уравнения справедлива теорема. Теорема о существовании и единственности решения ДУ второго порядка. Пусть в уравнении
Задача нахождение решения уравнения Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция 3) она является решением этого дифференциального уравнения при любых конкретных значениях постоянных С 1 и С 2; 4) каковы бы ни были начальные условия, существуют единственные значения постоянных С 1 = С10 и С 2 = С20 такие, что функция Значения постоянных С 10 и С 20 можно найти из системы уравнений
Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется всякое решение Рассмотрим на простейшем примере, какой вид имеет общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Пример. Найти решение уравнения Решение. Обозначим
Возвращаясь к исходной переменной, снова получим уравнение первого порядка:
Полученное общее решение зависит от двух произвольных постоянных С 1 и С 2. Для нахождения частного решения уравнения воспользуемся начальными условиями. В задаче дано, что у (1) = 2, подставляя это условие в общее решение С другой стороны, известно, что Из системы уравнений:
находим, что
В ходе решения данного примера мы свели решение дифференциального уравнения второго порядка к интегрированию уравнений первого порядка, что существенно упростило вычисления. Рассмотрим отдельно типы уравнений второго порядка, которые можно решать таким методом.
§ 8. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Преобразование дифференциального уравнения второго порядка, в ходе которого с помощью замены переменной его сводят к уравнению первого порядка, называется понижением порядка. Простейшими уравнениями, допускающими понижение порядка, являются следующие: 1) 2) 3) Рассмотрим последовательно, как осуществляется понижение порядка и как интегрируется каждое из указанных уравнений.
1. Уравнение Принцип решения этого типа уравнений мы рассмотрели в примере. Введем новую функцию v (x), положив
Возвращаясь к замене, получим
или
Пример. Найти общее решение уравнения Решение. Пусть
Решая это уравнение первого порядка, получим:
Т.к.
2. Уравнение Это уравнение не содержит явно искомой функции у. Вводя, как и в предыдущем случае, новую функцию
Допустим, что найдено общее решение этого уравнения v = φ (x, C 1). Заменяя в этом решении функцию v на
Отсюда общее решение уравнения
Пример. Найти общее решение уравнения Решение. Пусть
Разделяя переменные и решая уравнение первого порядка, получим:
где Возвращаясь к первоначальной переменной
Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:
Выделим из него частное решения, используя начальные условия. Во-первых, у (1) = 0, следовательно, Во-вторых, y ' (1) = 1, т.е. Решим систему уравнений:
Подставив найденные значения С 1 и С 2 в общее решение уравнения, получим искомое частное решение:
или
3. Уравнение Для понижения порядка уравнения введем новую функцию v (y), зависящую от у, полагая Продифференцируем это равенство по х, помня, что у является функцией от переменной х, т.е. v (y) – сложная функция:
Т.к. Подставляя выражения
Пусть функция
Интегрируя его, находим общий интеграл первоначального уравнения:
Пример. Найти общее решение уравнения Решение. Вводим новую неизвестную функцию v (y), полагая
Разделим переменные в получившемся уравнении:
Интегрируя, находим
Пусть
Выражая отсюда функцию v (y), получим
Произведем обратную замену
Разделяя переменные, получим:
Преобразовывая полученное выражение, выразим искомую функцию:
К дифференциальным уравнениям второго порядка сводится решение многих задач математики (например, задача о цепной линии), физики (некоторые задачи о движении тела, учитывающие сопротивление среды), экономической динамики и др.
Дифференциальные уравнения
|
||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 8236; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 216.73.216.10 (0.007 с.) |
и 
. Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать вторую производную 
.
.
функция 
и ее частные производные по у и по 
) этой области, данное уравнение имеет единственное решение 
, удовлетворяющее начальным условия: у (х 0) = у 0 и 
.
, которая зависит от двух произвольных постоянных С 1 и С 2 и удовлетворяет условиям:
является решением уравнения 
.
уравнения 
при конкретных значениях постоянных С 1 = С10 и С 2 = С20.
при условиях у (1) = 2, 
.
, тогда 
, и уравнение примет вид 
или 
. Решая это уравнение первого порядка, получим:
или 
.
или 
.
. Тогда искомое частное решение имеет вид:
.
;
;
.
.
, тогда 
. Подставив полученные выражения в уравнение 
или 
.
или 
.
.
или 
.
.
, то 
, тогда
.
.
и замечая, что 
.
или 
.
.
и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у (1) = 0, y '(1) = 1.
,
.
или 
, откуда
.
.
или 
.
или 
.
↔ 
↔ 
.
.
.
.
, то 
.
.
является общим решением этого уравнения. Вспоминая, что 
,получаем уравнение с разделяющимися переменными:
или 
.
.
.
.
.
,
.
.
.
или 
.
.
