Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7

Теорема Лопиталя. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля в окрестности точки а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Замечание. Теорема остается в силе и в том случае, когда в точке x = a функции j (x) и y (x) обращаются в бесконечность.

Правило Лопиталя. Для раскрытия неопределенностей и надо заменить предел отношения двух функций пределом отношения их производных. Если окажется, что отношение производных имеет конечный предел, то к этому же пределу стремится и отношение данных функций.

Пример: Найти предел .

При попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя: f¢(x) = 2 x + ; g¢(x) = e^x. Тогда = .

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Пример: Найти предел .

При подстановке х = 0 получается неопределенность вида . Применим правило Лопиталя. Найдем производные числителя и знаменателя: ; и подставим их в предел: - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз. ; ;

- применяем правило Лопиталя еще раз.

; ; .

Для раскрытия других неопределенностей , , , их следует предварительно преобразовать к неопределенности вида или .

Пример

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)> 0 в окрестности точки а при х® а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции ln y = g(x) ln f(x).

Пример: Найти предел .

Здесь y = x^x, ln y = x ln x.

Тогда .

Следовательно

Практическое занятие №15

Наименование занятия: Нахождение точек перегиба и направлений выпуклости, асимптот графика функции

ПРИЛОЖЕНИЕ

График функции f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной к любой его точке. График функции f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше касательной, проведенной к любой его точке.

Теорема (достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции). Если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и она положительна, то функция вогнута на этом интервале. Если же f′′(x) отрицательна на интервале (a; b), то функция выпукла на этом интервале.

Точка графика функции при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба) Если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и при переходе через точку х = x₀ f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = x₀ является точкой перегиба.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты. Если , , или , то прямая х = а является вертикальной асимптотой кривой y = f(x). Вертикальные асимптоты обычно сопровождают точки разрыва второго рода и если функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты. Наклонная асимптота задается уравнением y = kx + b. Для точного определения этой прямой необходимо найти коэффициенты k и b. Они находятся следующим образом: ,

Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Пример. Найти асимптоты функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой, т.к. в этих точках функция имеет разрыв 2-го рода.

Найдем наклонные асимптоты: , следовательно, наклонной асимптоты функция не имеет. Найдем , т.е. y = 0 – горизонтальная асимптота.

Практическое занятие №16

Наименование занятия: Полное исследование функций. Построение графиков.

Цель занятия: Научиться исследовать функции и по результатам исследования строить графики.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Исследовать функции по общей схеме и построить графики.

1)

2)

3)

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как найти область определения функции?
2. Как исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность?
3. Как найти точки пресечения графика функции с осями координат?
4. Как исследовать функцию на монотонность, экстремумы, выпуклость вогнутость, точки перегиба?

ПРИЛОЖЕНИЕ

Схема исследования функций

1. Найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются.

2. Установить, является функция четной или нечетной или ни той ни другой. Если функция четна или нечетна, то достаточно рассмотреть ее значения при x>0, а затем симметрично относительно оси OY или начала координат восстановить ее и для значений x<0.

3. Исследовать функцию на периодичность. Если функция периодическая, то достаточно рассмотреть ее на одном периоде.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно)

5. Провести исследование функции на экстремум и найти интервалы возрастания и убывания функции.

6. Найти точки перегиба кривой и интервалы выпуклости, вогнутости функции.

7. Найти асимптоты графика функции.

8. Пользуясь результатами шагов 1-7, строят график функции. Иногда для большей точности находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1) Областью определения функции являются промежутки (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Областью значенийданной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

2) Функция является нечетной, т.к. .

3) Функция не периодическая.

4) График пересекает оси координат в точке (0; 0).

5) Находим критические точки.

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y ¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y ¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y ¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y ¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y ¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.

6) Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < - , y ¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y ¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая

7) Найдем асимптоты кривой. Прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами, т.к. в них односторонние пределы равны бесконечности. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты: y = x.

8) Построим график функции по результатам исследования.

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии