Методическое пособие по физике

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 5Следующая ⇒

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ФИЗИКЕ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ФАКУЛЬТЕТА

Часть 2.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Громова Е.С.

Витман А.Д.

Бодунов Е.Н.

CАНКТ–ПЕТЕРБУРГ

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Лекция 9. Механические колебания 4

§28. Общие сведения о колебательном движении 4

§29. Гармонические колебания 5

§30. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях 6

§31. Гармонические колебания груза на пружине 9

§32. Превращение энергии при гармонических колебаниях 10

§33. Математический и физический маятники 11

Лекция 10. Механические колебания (продолжение) 15

§34 Затухающие колебания 15

§35 Вынужденные колебания 17

§36 Сложение одинаково направленных колебаний 19

§37. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 22

Лекция 11. Механические волны 25

§38. Распространение колебаний в упругой среде 25

§39. Длина волны. Связь длины волны со скоростью ее распространения27

§40. Звук 28

Лекция 12. Механические волны (продолжение) 29

§41. Уравнение плоской волны 29

§42. Фазовая скорость 31

§43. Волновое уравнение 32

§44. Энергия волн. Интенсивность 33

Контрольные задания 37

Лекция 9. Механические колебания

Общие сведения о колебательном движении

Колебательным движением или колебаниями называется движение, при котором тело проходит некоторое положение, называемое положением равновесия, двигаясь каждый раз в направлении, противоположном предыдущему.

Колебательное движение является важнейшим видом механического движения. Оно широко распространено в природе и технике. Колебания разнообразны по своей физической природе: механические колебания тела, подвешенного на пружине, качания маятников, колебания струн, вибрации фундаментов зданий, колебания вагонов на рессорах, электромагнитные колебания в колебательном контуре. Тем не менее разнообразные по природе колебания могут иметь общие закономерности и описываться однотипными математическими методами.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

Периодом колебания называется тот наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение. За это время совершается одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний называется число полных колебаний за единицу времени:

(28.1)

Циклической (круговой) частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за единиц времени:

(28.2)

Свободными (или собственными) называются колебания, которые система совершает под действием внутренних сил в результате какого–либо однократного начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия. Например, свободными являются колебания тела, подвешенного на пружине и выведенного однократно из положения равновесия; колебания маятника, однажды отклоненного на некоторый угол . При свободных колебаниях в системе всегда действуют силы, стремящиеся возвратить систему в положение равновесия. Незатухающие свободные колебания в системе возможны лишь в отсутствие трения и других сил сопротивления. Очевидно, что это идеализированный случай. Реальные свободные колебания являются затухающими.

Гармонические колебания

Простейшим частным случаем периодических колебаний являются гармонические, т.е. такие, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: 1) колебания в природе и технике часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) периодические колебания иной формы (с иной зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Примером таких колебаний могут служить колебания проекции радиус–вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью (рис. 29.1). При этом координата конца радиус–вектора изменяется по закону

(29.1)

где – постоянные величины. Координату в данный момент времени называют смещением.

Рис. 29.1

Максимальное значение колеблющейся величины называется амплитудой. Выражение называется фазой колебания и определяет значение величины в данный момент времени. Величина определяет значение фазы в момент времени и называется начальной фазой. Смысл фазы в том, что она указывает состояние колебательного процесса: зная фазу , можно из уравнения узнать относительное значение колеблющейся величины, а также характер ее изменения. Например, если фаза то это означает, что , и в данный момент величина убывает (следует из того, что при указанном значении аргумента функция ведет себя именно так). Значения колеблющейся величины и скорости ее изменения вполне определяют состояние колебательного процесса.

Затухающие колебания

Во всех реальных случаях помимо квазиупругой силы на тело действует сила сопротивления, которая обычно считается пропорциональной скорости:

где – коэффициент сопротивления.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы сопротивления имеет вид

или

(34.1)

где означает первую производную смещения по времени; – частота собственных колебаний, – коэффициент затухания. Уравнение (34.1) является дифференциальным. Его решение при не слишком сильном затухании имеет вид

(34.2)

где

Из выражения (34.2) видно, что амплитуда колебаний не является постоянной величиной, а уменьшается со временем по экспоненциальному закону:

(34.3)

где – начальная амплитуда колебаний.

Рис. 34.1.

Следовательно, колебания при наличии силы сопротивления не являются гармоническими. Такие колебания называются затухающими. Постоянная величина называется круговой частотой затухающих колебаний. Величина является круговой частотой колебаний в отсутствие сопротивления среды () и называется собственной частотой колебаний. За счет работы силы сопротивления механическая энергия в процессе колебаний непрерывно уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Соответственно амплитуда колебаний уменьшается, и колебания постепенно затухают (рис. 34.1). Однако смещение принимает нулевые значения через равные промежутки времени

(34.4)

Поэтому период , определяемый формулой (34.4), и частота рассматриваются как условные период и частота затухающих колебаний.

Быстроту убывания амплитуды характеризуют величиной, называемой логарифмическим декрементом затухания

где и – значения амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период.

Воспользовавшись соотношением (34.3), получим

откуда

(34.5)

Пример 34.1. А мплитуда затухающих колебаний уменьшилась в раз за колебаний. Чему равен логарифмический декремент затухания ?

Решение. Логарифмический декремент затухания связан с коэффициентом затухания соотношением (34.5).

Амплитуда затухающих колебаний убывает со временем по закону

(34.6)

По условию задачи

(34.7)

Комбинируя выражения (34.6) и (34.7), получаем

(34.8)

где – время, в течение которого произошло колебаний.

Период колебаний

(34.9)

Подставляя выражения (34.9) и (34.8) в соотношение (34.5), получаем

Ответ:

Вынужденные колебания

Для поддержания колебаний в системе необходимо, чтобы действовала сила, работа которой компенсировала бы уменьшение механической энергии. Эта сила должна быть переменной, т.к. постоянная сила может только изменить положение равновесия, но не может способствовать поддержанию колебаний в системе.

Колебания, возникающие в системе под действием внешней переменной силы, называются вынужденными. Переменная сила, поддерживающая в системе незатухающие колебания, называется вынуждающей.

Рассмотрим простейший частный случай вынужденных колебаний в среде, заключающийся в том, что на систему действует сила, которая изменяется со временем по гармоническому закону:

(35.1)

где – амплитуда силы, – круговая частота изменения силы со временем.

Помимо вынуждающей силы на тело действуют квазиупругая сила и сила сопротивления. Тогда колебания будут описываться дифференциальным уравнением:

или

(35.2)

где

С течением времени собственные колебания в системе затухнут, следовательно, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы.

Решение уравнения для установившихся вынужденных колебаний имеет вид:

(35.3)

где – амплитуда вынужденных колебаний, – сдвиг фаз; он представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания от обусловившей его вынуждающей силы:

(35.4)

(35.5)

Из соотношений (35.4) и (35.5) следует, что амплитуда и фаза зависят от соотношения между частотой собственных колебаний и частотой вынуждающей силы . При совпадении этих частот амплитуда колебаний будет резко возрастать (рис.35.1)

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой собственных колебаний системы, называется резонансом.

Рис.35.1

Резонансная амплитуда зависит от сопротивления среды, как видно из формулы (35.4). Кривой соответствует меньшее сопротивление среды, чем кривой . При , как видно из (35.5), и, соответственно, решение уравнения колебаний приобретает вид

Тогда скорость изменяется по закону

откуда видно, что скорость изменяется в фазе с вынуждающей силой.

Возрастание амплитуды при резонансе объясняется тем, что при направление вынуждающей силы все время совпадает с направлением перемещения, и, следовательно, вынуждающая сила будет непрерывно совершать положительную работу. Т.о., механическая энергия системы, а, соответственно, и амплитуда будут возрастать. При отсутствии сопротивления среды амплитуда стремится к бесконечно большим значениям. При вынуждающая сила на одних перемещениях совершает положительную работу, а на других – отрицательную, и потому амплитуда вынужденных колебаний невелика.

Звук

Звуковыми (акустическими) волнами (или просто звуком) называются распространяющиеся в упругой среде слабые возмущения. Возмущения считаются слабыми, если соответствующие им механические деформации среды имеют малые амплитуды. В вакууме звук не распространяется. Раздел физики, в котором изучаются звуковые колебания, называется акустикой. Источниками звука служат колеблющиеся тела.

В зависимости от интервала частот различают:

– инфразвук,

– звук.

– ультразвук.

Скорость звука зависит от упругих свойств среды. С увеличением упругости среды скорость увеличивается. Поэтому в твердых телах скорость звука значительно больше, чем в жидкостях, а в жидкостях больше, чем в газах.

Расчеты показывают, что скорость звука в газах близка по модулю к скорости теплового движения молекул. Для газов, близких к идеальным, эта величина может быть рассчитана по формуле

где – показатель адиабаты, – универсальная газовая постоянная, – абсолютная температура, – молярная масса газа.

Согласно расчетам, при температуре К и нормальном атмосферном давлении скорость звука в воздухе составляет м/c.

Скорость распространения звука зависит от температуры. В воздухе она растет с повышением температуры. В большинстве жидкостей скорость звука уменьшается с увеличением температуры. Исключением является вода.

Вопросы:

1) Что такое волна? Дайте определение продольной и поперечной волн.

2) В каких средах распространяются поперечные и продольные волны?

3) Что такое фронт волны? волновая поверхность?

4) Какая величина называется длиной волны?

5) От каких величин зависит скорость волны?

6) Какие волны называются звуковыми?

Лекция 12. Механические волны (продолжение)

Уравнение плоской волны

Уравнением волны называется выражение, которое позволяет определить смещение колеблющейся частицы упругой среды от положения равновесия как функцию ее координат и времени:

(41.1)

Найдем вид функции в случае плоской волны, предполагая, что колебания частиц среды носят гармонический характер (в этом случае волна называется гармонической). Пусть координатная ось совпадает с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны оси и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение будет зависеть только от и , т.е.

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости , имеют вид

(41.2)

т.е. начальную фазу примем равной нулю. Заметим, что начальная фаза определяется выбором начал отсчета и . При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координат можно выбрать так, чтобы начальная фаза была равна нулю.

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению . Для того чтобы пройти путь от плоскости до плоскости , фронту волны требуется время , где – скорость движения фронта волны.

Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости, соответствующей координате , будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости , т.е. будут иметь вид

(41.3)

Если волна распространяется в направлении, противоположном оси , то уравнение волны примет вид

(41.4)

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно и вид. Для этого введем величину , называемую волновым числом.

Волновое число можно также представить в виде

(41.5)

где – круговая частота колебаний.

С учетом соотношения (41.5) перепишем (41.3) в виде

(41.6)

Уравнение (41.6) называется уравнением плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении .

В общем случае, когда направление распространения волны не совпадает с осями координат, уравнение плоской гармонической волны имеет вид:

(41.7)

где – радиус–вектор, определяющий равновесное положение колеблющейся частицы в момент времени , – волновой вектор, направленный по нормали к волновой поверхности в сторону распространения волны и равный по модулю

Выразим скалярное произведение () через компоненты векторов по координатным осям:

.

Тогда (41.7) можно представить в виде

(41.8)

Фазовая скорость

Фазовой скосростью называют скорость перемещения фазы колебаний частиц среды при волновом процессе. Для плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении оси , фаза колебаний частиц имеет вид

(42.1)

откуда видно, что фаза есть функция времени и координаты положения равновесия частицы.

Зафиксируем значение фазы

откуда,

(42.2)

с учетом того, что . Полученное выражение определяет связь между временем и координатой , соответствующей фиксированному значению фазы. Продифференцировав (42.2), получим

откуда

(42.3)

Таким образом, скорость распространения волны и есть скорость перемещения фазы.

Волновое уравнение

Аналогично основному уравнению динамики в области волновых процессов существуют уравнения, являющиеся обобщенным выражением волн, независимо от их конкретного вида. Это дифференциальные уравнения в частных производных, связывающие изменеиия функций, характеризующих волну, во времени и пространстве. Уравнение любой волны является решением волнового уравнения. Получим вид волнового уравнения, исходя из его решения (41.8). Сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (41.8), описывающей плоскую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим

Сложим выражения, содержащие вторые производные по координатам,

Полученное уравнение можно записать в виде

(43.1)

где – оператор Лапласа,

– модуль волнового вектора или волновое число.

Продифференцируем переменную дважды по времени:

откуда

(43.2)

Подставляя полученное выражение в соотношение (43.1), получаем

или с учетом формулы (41.5),

(43.3)

Уравнение (43.3) называют волновым уравнением. Это уравнение мы получили, дифференцируя (41.8). Однако решением дифференциального уравнения (43.3) является и ряд других функций. Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (43.3), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при , представляет собой фазовую скорость этой волны. Т.о., уравнение (43.3) в наиболее общем виде описывает волновой процесс. Оно справедливо для однородных изотропных сред, затухание в которых мало, и при условии .

Отметим, что для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси , волновое уравнение имеет вид

(43.4)

§ 44. Энергия упругой волны

Распространение механических колебаний, представляющее собой последовательную передачу движения от одного участка среды к другому, означает тем самым передачу энергии. Эту энергию доставляет источник волны, когда он приводит в движение непосредственно прилегающий к нему слой среды. От этого слоя энергия передается следующему слою. Т.о., распространение волны создает в среде поток энергии, расходящейся от источника. Представление о потоке энергии, переносимой волнами, впервые ввел русский физик Н.А.Умов.

Потоком энергии через элементарную плошадку называется отношение энергии , проходящей через эту поверхность за промежуток времени , к величине этого промежутка:

(44.1)

Поток энергии – величина скалярная, размерность которой совпадает с размерностью мощности. Для характеристики переноса энергии в разных точках пространства вводится вектор плотности потока , называемый также вектором Умова. Этот вектор направлен в сторону распространения волны и по абсолютной величине равен отношению потока сквозь площадку поверхности к площадке , являющейся проекцией на плоскость, перпендикулярную направлению распространения волны:

(44.2)

где – угол между направлением нормали к площадке и направлением (рис.44.1).

Рис.44.1

За время через переносится энергия , которая заключена в объеме цилиндра с основанием и стороной (рис.44.1)

где – плотность энергии. Т.о., модуль плотности потока энергии равен

Введем вектор , модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии). Тогда

(44.3)

Если в некоторой среде плотности распространяется в направлении оси плоская гармоническая волна

то можно показать, что плотность потока энергии изменяется по закону:

(44.4)

т.е. в каждый момент времени в разных точках пространства она различна. В одной и той же точке среды плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Т.к. среднее значение квадрата синуса равно , то среднее значение плотности энергии за период

(44.5)

Т.о., плотность энергии и ее среднее значение пропорциональны плотности среды , квадрату частоты и квадрату амплитуды .

В случае монохроматической волны вектор , как и плотность энергии, изменяется со временем по закону квадрата синуса. Поэтому среднее по времени значение вектора Умова с учетом (44.4) можно записать как

(44.6)

Это выражение справедливо для любого вида волн – плоской, цилиндрической, сферической, затухающей и др.

Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой волной, называют интенсивностью волны: Для монохроматической волны

.

Т.о., интенсивностью волны называется величина, равная энергии, которую в среднем переносит волна за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волн.

Вопросы:

1) Какая волна называется плоской? гармонической?

2) Дайте определение волнового вектора.

3) Какое уравнение называется волновым?

4) Что такое поток энергии?

5) Дайте определение вектора плотности потока.

6) Какая физическая величина называется интенсивностью волны?

Пример 44.1. Плоская волна вида

(44.7)

( – в микрометрах, время – в секундах, – в метрах) распространяется в воде, причем источник волны находится в плоскости .

Найти:

а) объемную плотность энергии в точке, расположенной на расстоянии от источника, по истечении времени после начала колебаний;

б) среднюю объемную плотность энергии.

Решение.

а) Объемная плотность энергии волны определяется по формуле (44.4) с учетом :

(44.8)

Известно, что

, (44.9)

, (44.10)

Сравнив данное уравнение (44.7) с уравнением плоской волны, определяем параметры . Подставив выражения (44.9) и (44.10) в формулу (44.8), получаем

Численное значение объмной плотности

б) средняя плотность энергии волны определяется по формуле (44.5):

.

Подставив числовые данные из (44.7), получим:

Ответы: а)

б)

Контрольные задания

Вариант № 0

011. Теплоход идет от Нижнего Новгорода до Астрахани суток, а обратно – суток. Сколько времени плывут по течению плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

012. Диск радиусом м вращается согласно уравнению , где . Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки на окружности диска для момента времени с.

013. Мяч, летящий со скоростью м/c, отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью м/c. Чему равно изменение импульса мяча при ударе, если известно, что изменение его энергии Дж?

014. Через блок, выполненный в виде колеса, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами г и г. Массу колеса, равную г, считать равномерно распределенной по ободу, массой спиц пренебречь. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, и силы натяжения нити.

015. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом к линии горизонта. Определить скорость отката платформы, если ее масса вместе с орудием составляет тонн, а снаряд массой кг вылетает из орудия со скоростью м/c.

016. К ободу сплошного диска массой кг приложена постоянная касательная сила Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через с после начала действия силы?

017. Обруч диаметром см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период этих колебаний.

Вариант № 1

111. С аэростата, находящегося на высоте м, сброшен балласт с нулевой начальной скоростью относительно аэростата. Через сколько времени балласт достигнет земли, если аэростат поднимался со скоростью м/c?

112. Два диска, расположенные на одной оси на расстоянии м друг от друга, вращаются с одинаковой угловой скоростью, делая об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска так, что отверстие на втором диске смещено относительно отверстия на первом диске нa угол . Найти скорость пули.

113. На наклонной плоскости лежит груз массой г, к которому привязана нить, натянутая параллельно наклонной плоскости. При силе натяжени

12345Следующая ⇒

Поделиться:

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология