Основне рiвняння динаміки обертального руху абсолютно твердого тiла

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 9Следующая ⇒

Розглянемо обертання АТТ навколо нерухомої точки О (нехай вона збiгається з центром мас) пiд дiєю зовнiшнiх сил . Вiдповідно до виразу (2.39) його момент iмпульсу

Продиференціюємо за часом цей вираз:

Оскiльки вектори та , колiнеарнi, їх векторний добуток дорiвнює нулю. Тодi з урахуванням формули (2.13) останнiй вираз стане:

де — головний момент зовнiшнiх сил, що дiють на АТТ.

Остаточний вираз має вигляд:

(2.42)

i називається основним рiвнянням динамiки обертального руху АТТ вiдносно нерухомої точки О.

Воно свiдчить про те, що похiдна моменту iмпульсу АТТ за часом дорiвнює головному моменту дiючих зовнiшнiх сил. (Моменти і визначаються вiдносно однiєї й тiєї ж точки обертання О). Якщо АТТ обертається навколо нерухомої осi, то рiвняння (2.42) запишеться у вiдповiдних проекцiях i на цю вiсь:

(2.43)

тобто похiдна за часом вiд моменту iмпульсу АТТ вiдносно нерухомої осi обертання дорiвнює головному моменту зовнiшнiх сил вiдносно цiєї осi.

Рiвняння (2.43) можна записати iнакше, якщо врахувати вирази (2.41) та (1.50), а також те, що момент iнерцiї I = соnst:

тобто

(2.44)

для обертання навколо нерухомої, осi.

Якщо тiло обертається навколо нерухомої точки О, останнiй вираз буде таким:

(2.45)

Цi вирази читаються так: добуток моменту iнерцiї АТТ вiдносно нерухомої точки (або осi) обертання на кутове прискорення дорiвнює головному моменту зовнiшнiх сил вiдносно тiєї ж точки (або осi) обертання.

Енергiя — це загальна кiлькiсна мiра руху i взаємодiї всiх видiв матерії. Вiдповiдно до рiзних форм руху i взаємодiї матерiї розглядають рiзнi види енергії: механiчну, внутрiшню, електричну, ядерну та iн. Вiдповiдно до уявлень класичної фiзики енергiя будь-якої системи змiнюється безперервно i може набувати різних значень. Одиницею вимiрювання енергiї є джоуль (Дж) у системi СІ.

У механiцi розрiзняють два види енергiї — кiнетичну та потенцiальну . Повна механiчна енергiя дорівнює їхній сумі:

— для матерiальної точки

(2.61)

— для механiчної системи

, (2.62)

де та вiдповiдно кiнетична i потенцiальна енергiя i —го елемента системи. Розглянемо кожний з цих видiв механiчної енергiї.

Кiнетична енергiя

Кiнетичною енергією називається енергiя тiла, що рухається. Визначимо кiнетичну енергiю тiла при поступальному русi. Нехай пiд дiєю сили тiло (матерiальна точка) масою m перемiстилося на , змiнивши при цьому свою швидкiсть на . Тодi кiнетична енергiя тiла змiнилася на . Зрозумiло, що ця змiна кiнетичної енергiї вiдбулася за рахунок виконання силою роботи (вважаємо, що сил опору та тертя немає):

,

Скористаємося виразом для елементарної роботи (2.49), другим законом Ньютона (2.8) та виразом для тангенцiального прискорення (1.25):

,

Оскільки , а , то .

Якщо тiло починає рухатись iз стану спокою, тобто змінює свою швидкість вiд 0 до υ, воно набуде кiнетичну енергiю

.

Отже, кiнетична енергiя тiла (матерiальної точки) при поступальному русi дорiвнює:

(2.63)

Враховуючи, що iмпульс р = mυ, вираз (2.63) можна записати iнакше, помноживши i поділивши праву частину на m:

. (2.64)

Кінетична енергiя системи тiл (матерiальних точок) дорiвнює сумi кiнетичних енергiй окремих елементiв системи тобто є величиною адитивною.

(2.65)

Кiнетична енергiя є величиною вiдносною, i, як i швидкість, залежить вiд системи вiдлiку.

Знайдемо вираз для кiнетичної енергії АТТ, що обертається, як уже робилося ранiше, роздiлемо умовно АТТ на малi елементи m_i, для кожного з яких кiнетична енергiя за формулою (2.63) дорiвнюватиме

.

Враховуючи вираз (2.65), а також рiвняння (1.60), запишемо для всього АТТ:

Оскільки є моментом iнерції I всього тiла, остаточно будемо мати для кiнетичної енергії обертального руху АТТ

(2.66)

Якщо швидкiсть тiла пiд дiєю сили змiнюється при поступальному русi вiд до то виконана при цьому робота сили дорiвнює змiнi кiнетичної енергiї тiла:

(2.67)

Аналогiчне вiдбувається при обертальному русi, коли кутова швидкiсть АТТ змiнюється вiд до :

(2.68)

Зрозумiло, що додатня робота приводить до збiльшення кiнетичної енергiї тiла, а вiд’ємна робота — до зменшення кiнетичної енергiї

Потенцiальна енергiї

Потенцiальною енергiєю називається енергiя взаємодії тiл (або їх частин), що залежить вiд їх взаємного розташування.

Загалом взаємодiя мiж тiлами вiдбувається або при безпосередньому контактi, або на вiдстанi, за рахунок сил поля. Сили за їх властивостями можна подiлити на два класи. Для сил одного класу робота при перемiщеннi тiла мiж двома точками не залежить вiд траєкторiї руху, а для сил другого класу — залежить вiд траєкторiї руху тiла.

Сили, робота яких не залежить вiд форми траєкторiї руху тiла i визначається тільки початковою i кiнцевою точками траєкторiї, називаються консервативними (наприклад гравiтацiйна сила, електростатична сила). Саме цi сили можна описати за допомогою потенцiальної енергii.

Сили, робота яких залежить вiд траєкторiї руху тiла, називаються неконсервативними (наприклад, сили тертя). Для цих сил не iснує поняття потенцiальної енергiї.

Область простору, в якiй дiють сили, називається полем сил (або просто полем). Поля, в яких дiють консервативнi сили, називаються потенцiальними полями. Тiло, що перебуває в потенцiальному полi, має потенцiальну енергiю .

За означенням, потенцiальна енергiя тiла в даному його положеннi чисельно дорiвнює роботi, яку виконують дiючi на тiло консервативнi сили при перемiщеннi його з цього положення в те, де потенцiальна енергiя умовно приймається рiвною нулю. З цього означення можна зробити два висновки.

По-перше, робота консервативних сил, що дiють на тiло в потенцiальному полi, дорiвнює зменшенню потенцiальної енергiї тiла. Дiйсно, оскільки пiд дiєю консервативних сил тiло перемiщується з точки з бiльшою потенцiальною енергiєю в точку з меншою потенцiальною енергiєю - (поки воно не перемiститься в точку, де = 0), то

(2.69)

По-друге, значення потенцiальна енергiя залежить вiд того, яке положення тiла умовно взяте за нуль (вибiр нульового рiвня потенцiальної енергiї називається нормуванням потенцiальної енергії). Причому в разi замiни одного нульового рiвня на iнший потенцiальна енергiя змiнюється на сталу величину. Наприклад, вiзьмемо за нульове положення тiла в точцi l (рис.2.14,а). Тодi в положенні 2 потенцiальна енергiя тiла дорiвнюватиме . Якщо ж узяти за нульове положення тiла в точцi l ¢, то його потенцiальна енергiя в точцi 2 буде . Оскiльки сили консервативні, то робота вздовж траєкторiї 2- l ¢ дорiвнює роботi вздовж траєкторiї 2 — 1 — l¢, тобто , або

Роботу А, можна позначити як довiльну константу С i записати в загальному виглядi

(2.70)

Таким чином, потенціальна енергiя визначається не однозначно, а з точнiстю до довiльної сталої. Довiльнiсть вибору сталої не впливає на фiзичнi висновки, оскiльки вони характеризуються не абсолютним значенням потенцiальної енергiї, а й змiною, а саме . Зрозумiло, що для зручностi найчастiше покладають С = 0.

Потенцiальна енергiя залежить вiд характеру взаємодiї тiл, тому єдиної формули для неї, як для кiнетичної енергiї, немає. Крiм того, оскiльки початок вiдлiку вибирається довiльно, потенцiальна енергiя може мати вiд’ємнi значення (кiнетична енергiя завжди додатня). Наприклад, якщо за нуль прийняти потенцiальну енергiю тiла, що пребуває на поверхнi Землi, то потенцiальна енергiя тiла, пiднятого на висоту h ₁ буде , а тiло, що перебуває на днi шахти глибиною h ₂, буде .

Запишемо тепер математичний критерiй (тобто ознаку) потенцiальностi поля консервативних сил. Нехай тiло рухалося замкненою траєкторією 1—1 (рис.2.14,б). Оскiльки на нього дiяли консервативнi сили, їх робота в цьому замкненому контуру (позначимо його L) дорiвнює нулю. Математично це записується, з урахуванням рiвняння (2.46), так:

.

У математиці інтеграл вигляду називається циркуляцiєю вектора вздовж замкненого контура L. Отже для поля консервативних сил маємо такий математичний критерiй його потенцiальностi:

, (2.71)

тобто циркуляцiя вектора сили по довiльному замкненому контуру L дорiвнює нулю.

Познавательные статьи:



Формы дистанционного обучения

Передача мяча двумя руками снизу

Значение правильной осанки для жизнедеятельности человека

Основные ошибки при выполнении передач мяча на месте