Монету підкидають 10 разів. Знайти ймовірність з’явлення точно 5 гербів. Яке з перелічених чисел найбільш наближається до шуканої ймовірності.

називається …

60.1. … індикатором події

61. Функція, яка називається індикатором подій, є випадковою функцією, що розподілена …

61.1. … за законом Бернуллі.

62. Варіаційним рядом називається така послідовність елементів вибірки X ₁, X ₂, …, X_n, для якої виконується умова …

62.1. … X ₁≤ X ₂≤ …≤ X_n.

63. Яка з перелічених властивостей емпіричної функції розподілу F_n^* є хибною?

63.1. Ординатою емпіричної функції розподілу є ймовірність події (Х_і<y).

64. Яка з перелічених властивостей гістограми, побудованої за вибіркою
X ₁, X ₂, …, X_n об’ємом n, є хибною?

64.1. Висота прямокутника на A_j складає v_j / l_j, де l_j – довжина інтервалу A_j.

65. Який з перелічених варіантів формули Стерджесса, що задає залежність кількості інтервалів k від об’єму вибірки n при побудові гістограми,є хибним?

65.1. k = 1 + lg2*lg n

66. Яка таблиця з наведеного переліку не містить помилок?

66.1. Таблиця 1 – Теоретичні та емпіричні моменти

Назва моменту	Теоретичні	Емпіричні (вибіркові)
1. Перший початковий момент, математичне очікування 2. Другій центральний момент, дисперсія   3. Початковий k- й момент	E = EX 1 = a   D = DX 1 =     E = EX 1 k = mk	 = * = )2 – зміщена дисперсія S02 = )2 – незміщена дисперсія =

66.2. Таблиця 2 – Теоретичні та емпіричні моменти

Назва моменту	Теоретичні	Емпіричні (вибіркові)
1. Перший початковий момент, математичне очікування 2. Другій центральний момент, дисперсія   3. Початковий k- й момент	E = EX 1 = a   D = DX 1 =     E = EX 1 k = mk	 = * = )2 – зміщена дисперсія S0 = ) – незміщена дисперсія =

66.3. Таблиця 3 – Теоретичні та емпіричні моменти

Назва моменту	Теоретичні	Емпіричні (вибіркові)
1. Перший початковий момент, математичне очікування 2. Другій центральний момент, дисперсія   3. Початковий k- й момент	E = EX 1 = a   D = DX 1 =     E = EX 1 k = mk	 = * = ) – зміщена дисперсія S02 = )2 – незміщена дисперсія =

66.4. Таблиця 4 – Теоретичні та емпіричні моменти

Назва моменту	Теоретичні	Емпіричні (вибіркові)
1. Перший початковий момент, математичне очікування 2. Другій центральний момент, дисперсія   3. Початковий k- й момент	E = EX 1 = a   D = DX 1 =     E = EX 1 k = mk	 = * = )2 – зміщена дисперсія S02 = )2 – незміщена дисперсія =

67. Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з невідомого розподілу F з функцією розподілу F. Нехай F_n* - емпіричнафункція розподілу, що побудована за цією вибіркою. Тоді для будь-якого yÎ R …
Яке з перелічених співвідношень закінчує теорему Гливенко-Кантеллі?

67.1. … | F_n^*(y)- F(y)| 0 при п .

68. Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з невідомого розподілу F з функцією розподілу F. Нехай F_n* - емпіричнафункція розподілу, що побудована за цією вибіркою. Тоді для будь-якого yÎ R …
Яке з перелічених співвідношень закінчує теорему Колмогорова?

68.1. … | F_n^*(y)- F(y) | Þ при п ,
де ? K(x) = .

69. Монету підкидають 10 разів. Знайти ймовірність з’явлення точно 5 гербів. Яке з перелічених чисел найбільш наближається до шуканої ймовірності?

69.1. 0,2

69.2. 0,25

69.3. 0,3

69.4. 0,35

70. За вибіркою X_i, i= 1, …, n з розподілу F, яка має безперервну функцію розподілу f,створена гістограма, що має k інтервалів, на яких побудовані прямокутники довжиною l_j та висотою f_j. Кожен з інтервалів А_j містить v_j елементів вибірки. При п для будь-якого j= 1,..., k мають місце тільки три з перелічених чотирьох властивостей гістограми. Яка з властивостей є хибною?

70.1. l_jf_j P(X_iÎA_j)

70.2. l_jf_j

70.3. v_j /n

70.4. l_jf_j v_j /n

71. Нижче подано доведення незміщенності оцінки  для першого моменту вибірки X ₁, X ₂, …, X_n (Лема 1). Який з шості знаків рівності, якщо рахувати їх зліва направо, є хибним в цьому доведенні?

E = E( ) = = = EX ₁ = EX₁ = a.

72. Нижче подано доведення відомої формули для дисперсії: «дисперсія рівна середньому квадрату мінус квадрат середнього». Який з чотирьох знаків рівності, якщо рахувати їх зліва направо, є хибним в цьому доведенні?
D = = - 2 E + =
= E - 3 E E + 2 (E )² = E - (E )².

73. Укажіть, яке формулювання леми для вибіркового першого моменту є правильним?

73.1. EX = E ₁ = a; X E ₁ = a

73.2. E = EX ₁ = a;  EX ₁ =a

73.3. EX = E ₁ = a;  EX ₁ =a

73.4. E = EX₁ = a; X E ₁ = a

74. Укажіть, яке формулювання леми для вибіркової дисперсії є правильним?

74.1. E * DX ₁ = ; ES₀² = DX ₁ = ;
* DX ₁ = ; S₀² DX ₁ =

74.2. E * DX ₁ ; ES₀² = DX ₁ = ;
* DX ₁ = ; S₀² DX ₁ =

74.3. E * = DX ₁ = ; ES₀² DX ₁ = ;
* DX ₁ = ; S₀² DX ₁ =

74.4. E * = DX ₁ = ; ES₀² = DX ₁ = ;
* DX ₁ = ; S₀² DX ₁ =

75. Укажіть, яке формулювання леми для вибіркового k- го моменту є правильним?

75.1. = EX ₁ ^k = m_k; EX ₁ ^k = m_k

75.2. E = EX ₁ ^k = m_k; EX ₁ ^k = m_k

75.3. E = EX ₁ ^k = m_k; EX ₁ ^k = m_k

75.4. = EX ₁ ^k = m_k; EX ₁ ^k = m_k

76. На автоматичну телефонну станцію поступає простішій потік викликів з інтенсивністю 0,8 викл/хв. Знайти ймовірність того, що на протязі 2-х хвилин на станцію не поступить жодного виклику. До якого з перелічених чисел найбільш наближена визначена ймовірність?

76.1. 0,2

76.2. 0,4

76.3. 0,6

76.4. 0,8

77. Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n з параметричного сімейства розподілів F_q, qÎQ. Яка з перелічених формул не підходить для визначення оцінки параметра q^* за k- ммоментом?

77.1. ()

77.2. = h()

77.3. ()

77.4. (E_q X^k₁)

78. Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n. Яка з функцій для оцінки параметра може бути названа статистикою?

78.1. =

78.2. =

78.3. =

78.4. =

79. Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n. Яка з оцінок невідомого параметра називається незміщеною?

79.1.

79.2.

79.3. при п®¥

79.4. при п®¥

80. Дана вибірка X ₁, X ₂, …, X_n об’єму n. Яка з оцінок невідомого параметра називається змістовною?

80.1.

80.2.

80.3. при п®¥

80.4. при п®¥

24. Нехай 0.950, 0.231, 0.606, 0.486, 0.891 є вибіркою об’єму 5 з рівномірного розподілу U_0,θ . Знайти оцінку верхньої межі розподілу θ* за першим моментом.

24.5 0,4

24.6 0,5

24.7 0,6

24.8 0,7

25. Нехай 1.1349, -1.3312, 2.2507, 2.5754, -0.2929 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2. Знайти оцінку математичного очікування a* розподілу за першим моментом.

25.1 1,0

25.2 1.5

25.3 2,0

25.4 2.5

26. Нехай 4.3818, 4.3783, 1.9247, 2.6546, 2.3493 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2. Знайти зміщену оцінку дисперсії розподілу за першим моментом.

26.1 0,01

26.2 0,02

26.3 0,03

26.4 0,04

27. Нехай 1.6266, 3.4516, 0.8234, 6.3664, 1.7272 є вибіркою об’єму 5 з нормального розподілу N_a,2. Знайти незміщену оцінку дисперсії S²₀ розподілу за першим моментом.

27.1 0,01

27.2 0,02

27.3 0,03

27.4 0,04

28. Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з невідомого розподілу F_q, qÎQ з функцією щільності розподілу f_q. Метод максимальної правдоподібності полягає у знаходженні такого значення q^*, яке відповідає екстремуму …

Яким з перелічених варіантів не можна закінчити означення?

28.2 … функції f_q (X_i)

28.3 … функції

28.4 … функції q^* -q)²

28.5 … ймовірності отримати задану вибірку X ₁, X ₂, …, X_n

29. Нехай 2, 1, 0, 2, 1 – вибірка об’єму 5 з розподілу Пуассона . Знайти оцінку максимальної правдоподібності інтенсивності потоку .

29.5 0,1

29.6 0,2

29.7 0,3

29.8 0,4

30. Нехай 0.9355, 0.9169, 0.4103, 0.8936, 0.0579 – вибірка об’єму 5 з рівномірного розподілу U_0,θ. Знайти оцінку максимальної правдоподібності верхньої межі щільності розподілу.

30.5 0,6

30.6 0,8

30.7 1,0

30.8 1,2

31. Яка з перелічених величин не може бути застосована для порівняння оцінок? (1)

31.2 | |

31.3 E ( )²

31.4 E | |

31.5 E ( )⁴

32. Для одної з вибірок отримані чотири різних незміщених оцінки невідомого параметру 1,12; 1.08; 1.23; 1.11, які представляють собою випадкові величини з відповідними дисперсіями 0,28; 0.30; 0.32; 0.26. Яка з оцінок є найбільш достовірною?

32.2 1,12

32.3 1,08

32.4 1,23

32.5 1,11

33. Для кожної з чотирьох різних вибірок отримані оцінки, що мають наступні дисперсії 0,28; 0.30; 0.32; 0.26 і відповідні зміщення 0,5; 0,3; 0,3; 0,4. Знайти середній квадрат помилки для кожної з оцінок. (0,53; 0,39; 0,41; 0,42) Оцінка з яким порядковим номером є найкращою?

34. Для вибірки з рівномірного розподілу U_0,θ об’ємом n обчислені середні квадрати помилок E_θ (q^* - θ)² і E_θ ( - θ)² дляоцінок за методом моментів q^* та за методом максимальної правдоподібності . У таблиці штучних результатів номери рядків співпадають з n. Який з рядків цієї таблиці є хибним?

n	Eθ (q*-θ)2	Eθ ( - θ)2
	0.7	0.7
	0.035	0.035
	0.027	0.021
	0.016	0.018

35. Нехай випадкові величини і розподілені нормально з математичними очікуваннями a₁ і a₂ та дисперсіями σ₁² і σ₂² відповідно. Нехай також g – детермінована змінна величина. Яке з перелічених тверджень є хибним у розумінні стійкості за сумуванням?

35.1. Сума c + d має нормальний розподіл з математичним очікуванням ca₁ + da₂.

35.2. Сума d + g має нормальний розподіл з математичним очікуванням da₂ + g.

35.3. Сума d + g має нормальний розподіл з дисперсією
d² σ₂² + g².

35.4. Сума c + d має нормальний розподіл з дисперсією
c²σ₁² + d²σ₂².

36. Нехай X ₁, X ₂, …, X_n – вибірка об’єму п з розподілу N_a, Яка з перелічених випадкових величин має стандартний нормальний розподіл?

36.1.

36.2.

36.3.

36.4.

37. Які з перелічених виразів відповідають означенню точного довірчого інтервалу (θ ^-, θ⁺) для параметра θ рівня довіри 1- ?

37.1. P(θ ^- < θ < θ⁺) 1-

37.2. P((θ ^-, θ⁺) э θ) 1-

37.3. P(θ ^- < θ < θ⁺) 1-

37.4. P((θ ^-, θ⁺) э θ) 1-

38. Який з перелічених виразів описує щільність нормального розподілу f(x) з математичним очікуванням а і середнім квадратичним відхиленням σ?

38.1. f(x) = (1/ ) exp(-(x-a)²/(2σ²))

38.2. f(x) = (1/ ) exp(-(x-a)²/(2σ²))

38.3. f(x) = (1/ ) exp(-(x-a)²/(2σ))

38.4. f(x) = (1/ ) exp(-(x-a)²/(2σ²))

39. Нехай 0<p<1, q=1-p, m=0, 1,…, n – цілі невід’ємні числа, а С – біноміальний коефіцієнт. Дискретна випадкова величина Х має біноміальний розподіл, якщо ймовірність отримання нею значення т складає …
Який з перелічених виразів правильно закінчує означення?

39.1. … P_m = C_n^mpⁿ q^m

39.2. … P_m = C_mⁿ pⁿq^n-m

39.3. … P_m = C_n^mp^n-mqⁿ

39.4. … P_m = C_n^mp^mq^n-m

40. Випадкова величина X має розподіл Пуссона, якщоїї можливізначення 0, 1, 2, …m… складають нескінченну, але лічильну множину, а відповідні ймовірності задаються наступною формулою з параметром а, який має зміст інтенсивності потоку, …
Який з перелічених виразів правильно закінчує означення?

40.1. …P_m = (a^m/m!) exp(-a)

40.2. …P_m = (a^m/m!) exp(-aт)

40.3. …P_m = (a^m/m!) exp(-a/m)

40.4. …P_m = (a^m/m!) exp(-т/а)

41. Випадкова величина X має експоненціальний розподіл, якщоїї
щільність ймовірності f(x) задається при x >0 наступною формулою з параметром а …
Який з перелічених виразів правильно закінчує означення?

41.1. …f(x) = a exp(-ax)

41.2. …f(x) = a exp(-x)

41.3. …f(x) = x exp(-x)

41.4. …f(x) = x exp(-ax)

42. Яка з перелічених функцій а f(x) називається функцією Лапласа?

42.1. f(x) =

42.2. f(x) =

42.3. f(x) =

42.4. f(x) =

43. Функція розподілу для N_0,1 є …
Яке з перелічених тверджень правильно продовжує речення?

43.1. … Гама-функцією

43.2. … функцією Гевісайда

43.3. … функцією Лапласа

43.4. … одиничною функцією

44. Для визначення квантілі розподілу застосовується його …
Яке з перелічених тверджень правильно продовжує речення?

44.1. … функція розподілу

44.2. … щільність ймовірності

44.3. … функція, обернена до функції розподілу

44.4. … функція, обернена до щільності ймовірності

45. Яка з перелічених нижче функцій щільності ймовірностей задає гама-розподіл?

45.1.

45.2.

45.3.

45.4.

46. Який з перелічених нижче виразів задає гама-функцію?

46.1.

46.2.

46.3.

46.4.

47. При λ=1 гама-розподіл перетворюється в …

47.1. … розподіл Пуассона.

47.2. … розподіл Ерланга.

47.3.... розподіл Ст’юдента.

47.4. … експоненціальний розподіл.

48. При цілому λ>0 гама-розподіл перетворюється в …

48.1. … розподіл Пуассона.

48.2. … розподіл Ерланга.

48.3. … розподіл Ст’юдента.

48.4. … експоненціальний розподіл.

49. Яка з наступних формул застосовна для обчислення гама-функції натурального аргументу k?

49.1.

49.2.

49.3.

49.4.

50. Якщо ξ? N_0,1. то …
Який з наведений виразів правильно закінчує твердження Леми 7?

50.1. … ξ² ? Γ_{1/2, 1/2}

50.2. … ξ² ? Γ_{1/2, 1}

50.3. … ξ^1/2 ? Γ_{1/2, 1/2}

50.4. … ξ^1/2 ? Γ_{1/2, 1}

51. Якому з перелічених гама-розподілів належить випадкова величина, яка складає суму квадратів k незалежнихвеличин, розподілених за стандартним нормальним законом?

51.1. … Γ_{1/2, k}

51.2. … Γ_{1/2, k/2}

51.3. … Γ_{1, k}

51.4. … Γ_{1, k/2}

52. Який з перелічених розподілів називається розподілом χ² ступеня вільності k і позначається Н_k?

52.1. розподіл Γ_{1/2, k/2}

52.2. розподіл Γ_{1/2, k}

52.3. розподіл Г_1,k/2

52.4. розподіл Г _{1, k}

53. Нехай ξ₀, ξ₁, …, ξ_k незалежні та мають стандартний нормальний розподіл. Розподіл якої з перелічених випадкових величин називається розподілом Ст’юдента з k ступями вільності і позначається T_k?

53.1.

53.2.

53.3.

53.4.

54. Який з розподілів для вибірки об’єму k 20 практично співпадає з нормальним?

54.1. експоненціальний розподіл

54.2. розподіл Пуассона

54.3. розподіл Ерланга

54.4. розподіл Ст’юдента

55. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до нормального стандартного розподілу?

55.1.

55.2.

55.3.

55.4.

56. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до розподілу Н_n?

56.1.

56.2.

56.3.

56.4.

57. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до розподілу Н_n-1?

57.1.

57.2.

57.3.

57.4.

58. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин належить до розподілу Т_n-1?

58.1.

58.2.

58.3.

58.4.

59. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин застосовна до побудови точного довірчого інтервалу для а при відомому ?

59.1.

59.2.

59.3.

59.4.

60. Для нормального розподілу з математичним очікуванням а і дисперсією вибірка об’єму п маєвибіркове середнє , вибіркову дисперсію і незміщену вибіркову дисперсію S₀². Яка з перелічених випадкових величин застосовна до побудови точного довірчого інтервалу для а при невідомому