Бінарныя дачыненні. Дачыненне эквівалентнасці і падзел на класы.

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Бінарныя дачыненні. Дачыненне эквівалентнасці і падзел на класы.

Опр. Пусть А и В мн-ва,тогда подмн ρ в декартовом произведении , и , назыв бинарным отношением между множествами А и В.

Опр. Бинарным отношением на мн-ве А назыв бинар отнош между мн-вами А и А

Опр.: 1. a ρ a, - рефлексивность.(a a)

2. , - антирефлексивность. (a>a)

3. a ρ b, то b ρ a, - симметричность.(a, b – чет)

4. , - ассимметричность.

5. a ρ b и b ρ a, то a=b, - антисимметричность.(a bи b a, тогда a=b)

6. a ρ b и b ρ c, то a ρ c, - транзитивность.(a>b, b>c, то a>c)

Опр. Отношение ρ - отношение эквивалентности, когда оно рефлексивное, симметричное, транзитивное.

Напр. =,||, соответствие, подобие.

Опр. Пусть на множестве Х заданное отношение эквивал ρ мн-ва всех элементов мн-ва Х, которые эквивалентны элем х, наз классом эквивалентности х (относительно отношения ρ) и обозн , ,

Утв. 1. (рефлекс) 2. 3.

Д-во 3: , (транзитивность)

транзит . Аналог

Опр. когда задано не пустое мн-во Х и система его подмножеств , где , и таких, что и тогда, когда , тогда говорят, что задано разбиение мн-ва Х.

Т-ма. с каждой эквивалентностью ρ на А связано разбиение множества А на классы и этими классами будут все разные классы ρ- эквивалентности.

Д-во. Относительно ρ на А владеет свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности.

имеем а ρ а, зн. , Когда Ø, то .

Допуст. что , тогда і , это зн. с ρ а и с ρ в - симетр. Т.к. ρ - симетр. и транзитивная, то получится а ρ с і с ρ в →а ρ в.

Пусть и а ρ в →х ρ в, поэтому . Т.образом . Аналогично показывается и обратное , зн. . С доказанного следует, что когда Ø. Т.об. делаем вывод: все разные классы ρ- эквивалентности создают разбиении множества А.

3. Вектарны здабытак вектараў у трохмернай эўклідавай прасторы.

Опред. Векторное пространство V вместе со скалярным произведением на нём наз. Евклидовым векторным пространством. Е = V + скал. произведением.

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Опред: Скалярным произведением ненулевых векторов и наз. число, которое равно произведению длин этих векторов, умноженное. на cos угла между векторами.

=│ │*│ │cos(а^в) (1)

[Пуская ₁, _{2, 3} базис вектаров пространства.

Вектар _1, можна повернуць вокруг точки О в плоскасті α так, чтобы его направление превратилось в направление вектара ₂. Для такого поворота 2 возможности. Базис ₁, _{2, 3} наз-ся правым, если такой поворот с конца вектора ₃ выглядит поворотом против часовой стрелки. Все другие базисе называются левыми. Кали в Базис змяниць месцами два вектора, то права зробицца левым, а левый - правым.]

Примеры евклидового вектарного пространства:

1) -геометрические веткоры плоскати

2) -геометрические векторы пространства

3) -геом. вект. пространства сторон длины n

Опр. Векторным произведением геометричеких векторов в пространстве і наз. вектар , который удовлетворяет следующим условия: 1. ⊥ , ⊥ . 2. │ │=│ │*│ │*sinα. 3. , , -образуют правый базис, когда і - не колинеарны (угол или ноль, или 180˚) (и sinα=0 │ │=0 => = =>

. Когда колинеарны, то это )

Всё это верно для каждого правого ортаунармаванага базіса.

(Базис наз. ортаунармаваным, когда скалярное произведение вект. )

Свойства векторного произведения векторов;

1. [ х ]= <=> ∥ . Док-во: Если хотя бы один из векторов і нулевой, то ∥ и это совйство выполняется. Имеет место и обратное: пускай <> , <> , тогда [ х ]= <=> │[ х ]│= <=> ∥ .

2. х =- х .

3. ( )х = ( х ); х ( )= ( х ).

4. ( ₁+ ₂) х = ₁х + ₂х ; х ( ₁+ ₂)= х ₁+ х _2.

Вывод формулы векторного произведения векторов, заданных координатами. Выведем вычисление форм. вект. Произв. векторов і заданных своими разложения в ортавнармаваным базисе ₁, _{2, 3.}

Теорема: Пускай в правым ортавнармаваным базисе ₁, _{2, 3.}: (а₁,а_2, а₃), (b₁,b₂, b₃), тады х =

Геометрический смысл длины векторного произведения. | х |=S_ABCD, когда векторы некалиниарны (не лежат в одной плоскости). ABCD – параллелограмм.

Док-во:

Формулы Френе

Найдём разложение векторов по векторам репера Френе.

(1), где к – кривизна линии. ┴ , значит. * =0 (2)

Продифференцируем равенство (2):

Так как вектор ┴ , то этот вектор компланарен с векторами и n, значит, его можно разложить по векторам и n, т.е. можно записать

+æ (4) æ-каппа

Теперь из (1) и (4) следует (3). Т.е. получаем k∙ ∙ + (α æ ) =0

α=-k

т.о. получили, =-k + æ (5)

=-

=- (6)

(*) Формулы (*) назыв формулами Френе.

8. Група пераўтварэнняў падобнасці плоскасці і некаторыя яе падгрупы

Опр. Преобразование плоскости наз преобразованием гомотетии, если каждой точке М ставится в соответствие точка M’так, что выполняется условие: OM’=kOM, а точке О ставится в соответствие саму эту точку, где О – фиксированная точка плоскости и называется центром гомотетии, k – коэффициент гомотетии. Обозначение:

Опр. Преобразование плоскости наз преобразованием подобия, если для любых двух точек А,В и их образов A’, B’ при этом преобразовании выполняется условие A’B’=kАВ, k>0. k - коэффициент подобия. Обозначение: P_k

Теорема. Множество всех преобразований подобия образуют подгруппу группы преобразований плоскости.

Док-во. 1)Пусть Р_к1, Р_к2 – два преобразования подобия с коэффициентами к1 и к2. Надо доказать, что Р_к1 ᵒ Р_к2 – преобразования подобия.

Для любых А, В Р_к1(А)=A’, Р_к2(A’)=A’’. Р_к1(B)=B’, Р_к2(B’)=B’’.

Р_к2 ᵒ Р_к1(A)=A’’

Р_к2 ᵒ Р_к1(B)=B’’

Т.к. Р_к1 и Р_к2 – подобия и A’B’=k₁АВ и A’’B’’=k₂А’В’, значит, A’’B’’= k₁k₂АВ, значит, Р_к1 ᵒ Р_к2 – преобразование подобия с коэффициентом k₁k₂.

2)Пусть Р_к – преобразование подобия с коэффициентом k. Докажем, что - тоже преобразование подобия. Покажем это

Для любых А и В A’=Р_к (А) и В’=Р_к(В) получаем (A’)=A, (B’)=B. т.к. Р_к – преобразование подобия, то A’B’=kАВ. Отсюда АВ=1/к A’B’. Значит, преобразование подобия с коэффициентом 1/к. доказано.

Теорема. Любое преобразование подобия Р_к можно представить в виде композиции ᵩº , где - гомотетия с некоторым центром в точке О, ᵩ- движение плоскости.

Свойства.

1)прямую отображает на прямую, луч на луч, отрезок на отрезок, полуплоскость на полуплоскость, угол на равный ему угол.

2)при преобразовании подобия сохраняется простое отношение трех точек.

Замечание. Всякая гомотетия является преобразованием подобия с коэффициентом модуль к.

Отсюда следует, что множество всех гомотетий с общим центром образуют подгруппу группы преобразований подобия. Всякое движение является преобразованием подобия с коэффициентом к=1. Множество всех движений плоскости образуют подгруппу преобразований подобия плоскости.

9. Група рухаў плоскасці. Класіфікацыя рухаў

Движением пл-ти наз преобразование пл-ти, кот сохраняет расстояние между каждыми 2 точками пл-ти (преобразование пл-ти – биективное отображение пл-ти на себя).

Т. Множество всех движений пл-ти образуют подгруппу группы преобразований пл-ти.

Док-во. Для доказательства необходимо доказать, что 1)для любых движений f и g композиция fᵒg явл движением, 2)если f движение, то f^-1 тоже движение.

1)пусть f и g – движения, А,В – произвольные точки Е². Обозначим (gᵒf)(A)=A’’, (gᵒf)(B)=B’’. Покажем, что АВ= A’’ B’’.

Пусть f(A)=A’, g(A’)=A’’, f(B)=B’, g(B’)=B’’. т.к. f- движение, то A’B’=AB, и g-движение, то A’B’=A’’B’’. Значит, A’’ B’’.

Композиция сохраняет расстояние между двумя любыми точками.

2)пусть f- движение. Докажем, что f^-1 тоже движение. Возьмем произвольные точки С, D. f^-1 (С)=А, f^-1 (D)=B, f(A)=C, f(B)=D. Покажем, что CD=AB. Т.к. f- движение, то AB=CD, отсюда следует, что f^-1 - движение. Доказано.

Свойства движения:

1.Любое движение плоскости 3 точки, принадлежащие одной прямой, отображает в 3 точки, принадлежащие другой прямой.

2.Всякое движение три точки, не принадлежащие одной прямой, отображает в три точки, не принадлежащие одной прямой.

3.Любое движение плоскости прямую отображает на прямую.

4.Любое движение отрезок отображает на равный ему отрезок.

5.Любое движение плоскости треугольник отображает на равный ему треугольник.

6.Любое движение отображает угол на равный ему угол, луч на луч, полуплоскость на полуплоскость и сохраняет простое отношение трех точек.

Опр. Пусть фи – движение, R=(o,i,j) – прямоугольная СК, R’=(o’,I’,j’)- образ прямоугольной СК при движении фи. Движение фи называется движением первого рода, если базисы (I,j)и (I’,j’) одинаково ориентированы и фи называется движением второго рода, если эти базисы противоположно ориентированы.

Т3.. Пусть фи – движение, которое определяется двумя СК R=(o,i,j) и R’=(o’,I’,j’).), R’= ᵩ(R). Тогда координаты точки М и точки M’ связаны соотношениями

Где ε=±1. Причем, ε=1, если формулы определяют движение первого рода, ε=-1, если формулы определяют движение второго рода.

Классификация движений.

1)Всякое движение первого рода является либо тождественным преобразованием, либо параллельным переносом, либо поворотом.

2)Всякое движение второго рода есть осевая или скользящая симметрия.

Определения.

1)Пусть – некотор. вектор на пл-ти. Преобразование пл-ти, кот. т.М ставит в соответствие такую т. М’, что вектор ММ’= наз параллельным переносом пл-ти на вектор

2)пусть α – некоторый ориентированный угол, О – фиксированная точка на пл-ти. Поворотом пл-ти вокруг точки О наз преобразование пл-ти, при кот каждой т.М, не совпадающей с т.О, ставится в соответствие т.M’ так что: 1.ОМ=OM’. 2.угол MOM’= α,А точке О ставят в соответствие саму эту точку. О – центр поворота.

3)Пусть О – фиксированная т.на пл-ти. Центральной симметрией с центром в т.О наз преобразование пл-ти, кот любой т.М≠0 ставит в соответствие т.M’, симметричную М относительно т.О, а т.О ставит в соответствие саму эту точку. О – центр симметрии.

4)Пусть на пл-ти дана некоторая прямая L. Осевой симметрией относительно пр.L наз преобразование пл-ти, при кот. каждой т.М, не ϵ прям L, ставится в соответствие т.M’, симметрич т.М относит прям L. И кажд т.Р, ϵ прям L, став в соответствие сама эта точка.

5)Пусть L-некоторая прям Е², ‖L. Скользящей симметрией наз преобразование, кот. явл. произведением (композицией) осевой симметрии и параллельного переноса.

10. Ізамарфізм вектарных прастораў. Бaзіс і памернасць канечнамернай вектарнай прасторы. Падпрасторы

Опр. Пусть Р- поле. Непустое мн-ва V наз. линейным пространством (или векторным пространством) над Р (элементы V будем называть векторами, элементы Р- скалярами), когда: 0) На V задана бинарная алгебраическая операция, кот наз. сложением или суммой, это зн., что указан вектор ), кот удовлетворяет условиям: 1) = ; 2) , что ; 3) такой, что ; 4) ; Задана операция умножения скаляров (эл-тов с Р) на векторы (эл-ты из V) (это.зн., что , указан вектор ); 5) ; 6) ; 7) ; 8)

Опр. Пусть V, U – линейное пр-во над полем P. Отображение наз. линейным (гомоморфизмом лин. пространства), когда 1) ; 2)

Опр. V, U – лин пр-ва над P. -гомоморфизм. Когда f-биекция,то f наз. изоморфизмом.

Опр. сист вект-в лин. простр V над P (1) наз. базисом простр V, если вып. 2усл: 1) сист(1)лин.незав. 2) (усл полноты)

Опр. Упорядоченная n-ка из разложения наз. координатами вектора в базисе .

Опр. Число вект-в в базисе наз. ее размерностью простр V над P. Обоз. n= .

Св-ва: 1) если dim V =n, то каждая лин незавмс сист вект-в из V содержит не больше чем n вект-ов. 2) любая миним (па кол-ву вект-ов) полная сист вект-ов образует базис. 3) любая максим лин незав сист вект-ов образует базис. 4) любую лин незав сист вект-в м дополн до базиса. 5) люб конечная сист вект-в, котор владеет св-ом полноты, содержит базис. 6) пусть (1) – базис прастр V. Каждый в-р Î V единств образом расклад па базису,это зн един паслед-ть l_1, l_2,…,l_n ÎP такая, что (3)

Опр. Упорядоченная n-ка из разлож наз. координ в-ра в базисе и запис в ряд(l₁;...;l_n) или в столбик в квадр скобках.

Опр пусть V лин. простр. над полем Р. Непустое подмн-во U V назыв. подпростр. простр. V, если U явл лінейным прастр. относит опер, котор поредеоены в V. ( наприм Р_n[x] P_n+1[x] P[x] і каждое из подмн. Явл подпространством)

Критерий подпростр. V лин простр над Р. Падмн-во U V зявл падпростр в V т і т т, к выполн 3 усл:1) U ≠Ø;2) Для всех і U + U;3) Для люб λ Р и любого U λ U.

11. Кольца. Прыклады кольцаў. Найпрасцейшыя уласцівасці кольца.Падкольца. Гомамарфізмы і ізамарфізмы кольцаў.

Непустое множество А – кольцо, если на нем задана бинарная операция, обычно обозначаемая «+» и называемая сложением. Такая, что «К;+» - аддитивная коммутативная группа. И выполняются условия: 1) а, в а+в К, 2) 0 К, а а+0=0+а=а, 3) а (-а) а+(-а)=(-а)+а=0, 4) а,в а+в=в+а, 5) а,в,с (а+в)+с=а+(в+с).

На К задана бинарная операция обозначаемая «*» и называемая умножением, такая что «К;*»-полугруппа,т.е. 1) а,в а*в К, 2) а,в,с (а*в)*с=а*(в*с)

Операция сложения и умножения в К согласованы условиями дистрибутивности т.е.

а,в,с а(в+с)=ав+ас или а,в,с (а+в)с=ас+вс

Кольцо К – коммутативно если операция умножения коммутативна т.е. а,в ав=ва

Кольцо К – кольцо с единицей если в нем элемент нейтральный относительно умножения т.е. а К а*1=1*а=а

Прим:

«Z;+;*» - комуттативное кольцо с 1

«5Z;+;◦» - коммуттативное кольцо без 1

«С;+; ◦» - кольцо

Подкольца

Пусть «К;+;◦»-кольцо. Непустое подмножество К в К –подкольцо в К, если оно само является кольцом относительно операций в К.

Критерий подкольца: «К;+;◦» - кольцо; К1 К, К1 К1 – подкольцо в К ó 1) К1- аддитивная подгруппа в К; 2) а*в К1

Примеры:

5Z- подкальцо в Z

К= Mat(nxn;R) K1 = где a,b,c R

Гомоморфизм и изоморфизм

Пусть <K₁;+; > и <K₁; ; > -кольца. Отображение f:K₁ K₂ наз. гомоморфизмом колец, если оно сохраняет операцию, т.е.

-- изоморфизмом, если f - биекция.

- биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества E на F), если оно инъективно и сюръективно, или если уравнение f (x) = y имеет одно и только одно решение.)

12. Кольца цэлых лікаў. Тэарэма аб дзяленні з астачай.

*

*

, рассмотрим на нем бинарное отношение , такое что

*

Опр. Целое число – класс эквивалентн элем с относительно отношения эквивалентности . Мн-во всех классов эквивал – мн-во целых чисел, обозн . Класс эквивал пары обозн , целые числа гречискими бквами

Опр .Сложение целых чисел: і - целое число .

Опр .Умножение целых чисел: і - целое число

Опр .Кольцо наз. линейно-упорядоченным, когдана им можно задать такой порядок, что: 1) , 2) .

Т. 1 (преобразование кольца в линейно-упорядоченное кольцо)

Пусть 1) , 2) , 3) , 4) . .

Т. 2 Кольцо явл. линейно-упорядоченным.

Определение 2.1.

Пусть и b≠0. Делением a на b с остатком называется представление числа a в виде a=bq+r, где q, r , 0≤r<ΙbΙ

В этом случае число q называется частным, число r – остатком от деления a на b.

Теорема 2.2. (о делении с остатком)

Пусть , b≠0, b>0, тогда существует единственное представление числа a в виде a=bq+r, q, r 0≤r<b

Док-во:

“ ”: рассмотрим все возможные произведения вида bn, n : …, -kb, …, -b, 0, b, 2b, 3b, …, kb, …

Очевидно, что существует q , такое что bq≤a<b(q+1)

(((b=3: ab: …, -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, … a=10 между 9 и 12)))

Тогда рассмотрим a=bq+(-bq+a) и 0≤a-bq<b

a=bq+r, 0≤r<b

“ ”: пусть , тогда a=b + , 0≤ <b

bq+r= b +

(b(q- )= => () b; т. к. 0≤r, <b, то Ιr- Ι<b) => (из следствие 1.3.6.: В кольце Z выполнены следующие утверждения: a b => либо a=0, либо ΙaΙ ≥ΙbΙ) => r= => (b(q- )= =0, b≠0 => q-

13. Найбольшы агульны дзельнік і найменшы агульны кратны двух лікаў.

Опр.: Пусть . Целое число называется общим делителем , если

Опр.: Пусть , хотя бы одно из которых не равно нулю. Наибольшим общим делителем называется целое число , которое является общим делителем и кратно любому их общему делителю. d=НОД(a,b).

Лемма: Если (не обязательно деление с остатком), то 1) 2) .

Алгоритм Евклида

Пусть , тогда остаток равен нулю. Остатки от делений – это целые неотрицательные числа, которые удовлетворяют условию: . Эта последовательность не может быть бесконечной. Значит, на каком-то шаге деления получится остаток =0. Этим и объясняется последнее равенство (1). Равенство (1) – алгоритм Евклида.

ТЕОРЕМА ЕВКЛИДА: Последний не равный нулю остаток в алгоритме Евклида равен

u Докажем, что - общий делитель