Опорный конспект лекций. Ч. 1

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 4Следующая ⇒

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Опорный конспект лекций. Ч. 1

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Санкт-Петербург

УДК 531.1:531.2(075.8)

ББК 2221я73

У76

Рецензент:

профессор кафедры машиноведения Санкт-Петербургского

государственного университета технологии и дизайна

А. В. Марковец

Усов, А. Г.

У76 Теоретическая механика. Опорный конспект лекций:

учебное пособие для студентов СПГУТД всех спе-

циальностей. Ч. 1 / Усов А. Г. – СПб.: ФГБОУВПО

«СПГУТД», 2011. – 52 с.

ISBN 978-5-7937-0661-2

Конспект содержит определения терминов, формулировки основных положений курса теоретической механики, а также разъяснения тех вопросов программы, изучение которых студентам предлагается выполнить самостоятельно. Конспект предназначен для студентов, обучающихся в СПГУТД по различным специальностям.

УДК 531.1:531.2(075.8)

ББК 2221я73

Содержание

Введение …………………………………………………………...... 5

Основные объекты, изучаемые в курсе теоретической механики (5). Материальная точка, механическая система, твердое тело (5). Механическое движение (5). Свойства пространства и времени (5). Система отсчета (6). Обобщенные координаты (7). Число степеней свободы (7). Связи (7). Что означает задать движение механической системы (7). Сила (10). Положение и состояние механической системы (10). Три раздела теоретической механики (11).

Раздел 1. Кинематика …………………………………………… 11

1.1. Кинематика точки ………………………………………….. 11

Способы задания движения точки (11). Кинематические параметры точки, траектория (11). Вектор перемещения (11). Скорость точки (12). Ускорение точки (13). Путь (13). Траектория, скорость и ускорение точки при картезианском задании движения (13-14). Естественный способ задания движения (14). Скорость точки при естественном задании ее движения (14). Ускорение точки при естественном задании движения (14). Кривизна и радиус кривизны траектории (15). Естественный трехгранник (17). Равнопеременное движение точки (17).

1.2. Простейшие движения твердого тела ……………………… 19

Классификация движений твердого тела (18). Поступательное движение тела(18). Вращательное движение тела ( описание движения) (18). Угловая скорость вращающегося тела (18). Угловое ускорение (19). Равнопеременное вращение (19). Траектория точки вращающегося тела (19). Скорость и ускорение точки вращающегося тела (20). Передаточная формула для зубчатой передачи. Редукторы. Формула Виллиса (20-22).

1.3. Сложное движение точки........................................................... 22

Описание сложного движения; относительная, переносная и абсолютная скорость (22). Теоремы сложения (22-23).

1.4. Плоское движение твердого тела …………………………… 23

Описание плоского движения (23). Скорость точки плоской фигуры (23). Ускорение точки плоской фигуры (24). Мгновенный центр скоростей (25).

1.5. Сложение вращений твердого тела ………………………. 25

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей (25).Сложение вращений вокруг параллельных осей (26).Сферическое движение тела (26). Скорость и ускорение точки тела при сферическом движении (27). Движение свободного тела (28).

Раздел 2. Введение в динамику. Статика твердого тела ……… 28

2.1. Введение в динамику ……………………………………… 28

Аксиомы классической механики (29). Классификация сил (30). Момент вектора относительно полюса (30). Момент вектора относительно оси (32). Главный вектор и главный момент системы сил (33). Меры механического движения (33). Меры действия сил (34). Мощность и элементарная работа сил, действующих на твердое тело (35). Теоремы динамики механической системы в дифференциальной форме (37).

2.2. Статика твердого тела ………………………………………. 37

Эквивалентные системы сил (37). Векторные уравнения равновесия твердого тела (37). Классификация систем сил (38). Уравнения равновесия в проекциях (38). Пара сил (39). Равнодействующая (39). Приведение системы сил к полюсу (40). Инварианты статики (40). Центр тяжести (40).Координаты центра тяжести однородного тела (41). Теоремы Гюльдена (42). Основные типы связей и их реакции (42). Статически определимые конструкции (44). Силы сопротивления движению тела по опоре (46). Трение скольжения (47). Сопротивление качению колеса(49). Трение гибкой нити о шероховатый цилиндр (49).

Заключение....................................................................................... 50

Список литературы ……………………………………………… 50

Gaudeamus........................................................................................... 51

ВВЕДЕНИЕ

В.1. Основные объекты, изучаемые в курсе теоретической механики: материальная точка, твердое тело, механическая система с конечным числом степеней свободы. Движение этих объектов описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (в отличие от дифференциальных уравнений с частными производными, описывающих движение сплошной среды).

В.2. Материальная точка - физическое тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями, на которые оно перемещается. Бесструктурный объект нулевой размерности, обладающий единственным существенным качеством – массой.

В.3.Механическая система - множество материальных точек, движения которых взаимосвязаны.

В.4. Твердое тело - механическая система, расстояние между любыми двумя точками которой остается неизменным. Совокупность изменений расстояний между точками тела представляет собой деформациютела.

В.5. Механическое движение - упорядоченное изменение взаимного расположения механических объектов. Изучение порядка изменения основывается на идее времени. Изучение порядка расположения - на идее пространства.

♦ Обсуждение смысла понятий «пространство» и «время» продолжается в позитивных науках и в философии с античных времен по настоящее время. Философский словарь 1983 г. акцентирует свойство времени выражать «последовательность смены состояний материальных систем и процессов». Переведенная с немецкого языка энциклопедия, изданная Шуваловым в 1781 г., обращает внимание читателя на случайную ткань времени: «Порядок случайных вещей, одна за другою последующих».

КИНЕМАТИКА

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

1.1. 1.Способы задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

1.1.2. Кинематические параметры точки - это величины, определяющие а) положение (перемещение) точки, б) скорость, в) ускорение точки. Аналогичные кинематические параметры вращающегося твердого тела - это угол его поворота, угловая скорость, угловое ускорение тела.

1.1.3. Траектория точки - геометрическое место положений точки в пространстве, или годограф («рисунок пути») радиус-вектора точки.

1.1.4. Векторперемещения точки

Пусть движение точки происходит в интервале времени , и пусть моменту времени соответствует положение точки (рис. 2), а моменту - положение .

Вектор перемещения точки за время -вектор , имеющий начало в точке и конец – в точке . При векторном задании движения точки вектор перемещения есть «прирост» радиус-вектора точки за время :

Рис. 2. Участок траектории точки

Скорость точки

Вектор средней скорости на участке :

Вектор мгновенной скорости в момент времени :

Здесь предыдущая точка (рис. 2) стягивается в рассуждениях исследователяк последующей точке , т.е. скорость в момент определена как производная от радиус-вектора слева. Когда последующая точка стягивается к предыдущей точке, то имеем производную справа. Вследствие удара по материальной точке производные от радиус-вектора в момент справа и слева могут не совпасть.

Вектор средней скорости на участке направлен вдоль секущей ; вектор средней скорости на участке направлен вдоль секущей . Вектор мгновенной скорости в момент времени направлен по касательной к траектории, проходящей через точку .

Величина скорости (модуль вектора ):

.

Ускорение точки

Рассмотрим три последовательных положения точки на траектории, соответствующие моментам времени , , (рис. 2). Определим среднее ускорение на участке :

.

Вектор среднего ускорения лежит в плоскости треугольника и направлен в сторону вогнутости траектории. Вектор мгновенного ускорения движущейся точки в положении равен и лежит в соприкасающейся плоскости. Соприкасающуюся к траектории в точке плоскость представим себе как предельное положение плоскости треугольника при условии , т.е. при

1.1.7. Путь точки на заданном промежутке времени равен длине пройденной ею дуги траектории

.

1.1.8. Исследовать траекторию точки при координатном способе задания ее движения бывает удобно, если исключить время как параметр из уравнений движения и составить таким способом уравнения траектории в виде зависимостей между координатами точки.

1.1.9. Скорость точки при задании ее движения в декартовой системе координат

1.3.1.Описание сложного движения точки

Пусть имеются две разные системы отсчета, относительно которых исследуется движение некоторой точки М, причем одна из этих систем отсчета считается неподвижной, или абсолютной, а другая является подвижной (в качестве абсолютной обычно выступает инерциальная система отсчета). Движение точки М относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным движением этой точки, а движение относительно подвижной системы отсчета - относительным. Сложным движением точки М называется такое абсолютное ее движение, которое можно представить как композицию (результат «сложения») относительного и переносного её движений. При этом переносным называется движение точки М вместе с подвижной системой отсчета относительно неподвижной.

1.3.2.Относительная, переносная и абсолютная скорости точки

Относительная (relatif (фр.))скорость точки - это её скорость относительно подвижной системы отсчета (рассчитанная при «замороженном» переносном движении).

Переносная (emporter) скорость – скорость, которой обладала

бы точка при «замороженном» относительном движении; иначе говоря, это скорость того пункта подвижной системы отсчета, в котором находится точка в расчетный момент времени.

Абсолютная (absolu) скорость – скорость точки относительно неподвижной системы отсчета.

1.3.3. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки

1.3.4. Теорема Кориолиса о сложении ускорений

2.1.3. Момент вектора относительно полюса (механический момент)

Момент вектора относительно полюса определяется выражением

Здесь - радиус-вектор, проведенный из полюса О в точку

приложения вектора (рис. 9).

Латинское слово «момент» означает некое действующее начало, существенное качество какого-то явления. Момент силы характеризует вращательный эффект действия силы. Вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости , содержащей полюс и линию действия силы согласно правилу правого винта (линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы).

Величина момента силы равна произведению величины силы на плечо:

Плечо вектора силы относительно полюса – это расстояние от полюса до линии действия силы. Чтобы найти плечо, надо опустить из полюса перпендикуляр на линию действия силы.

Рис. 9. Момент вектора относительно полюса

Аналогично определяется момент вектора количества движения точки относительно полюса («кинетический момент»):

.

Пусть - декартовы проекции вектора , а , , - проекции радиус-вектора (то есть координаты точки приложения силы). Тогда момент вектора относительно начала координат может быть найден по правилу символического определителя:

2.1.4. Момент вектора относительно оси - это проекция момента относительно полюса на ось , проходящую через данный полюс:

Графо-аналитический расчет момента вектора относительно оси выполняется по следующему алгоритму:

1) строим плоскость (рис. 10), перпендикулярную оси (точка – точка их пересечения);

Рис. 10. К расчету момента вектора относительно оси

2) строим проекцию вектора на плоскость ;

3) находим плечо вектора относительно полюса и величину момента ;

4) Моменту вектора относительно оси приписываем значение

Знак момента определяется по правилу правого винта (часовой стрелки): если направление вектора совпадает с направлением оси , то приписываем знак «+», иначе «-».

Момент вектора относительно оси равен нулю, если вектор и ось компланарны (линия действия вектора параллельна оси или пересекает её).

2.1.6. Меры механического движения

2.1.7. Меры действия сил

2.1.8. Мощность и элементарная работа сил, действующих на твердое тело

2.1.9.Теоремы динамики механической системы в дифференциальной форме можно записать как суждения о скоростях изменения мер движения:

.

Подчеркнем, что изменение кинетической энергии определяется мощностью как внешних , так и внутренних сил.

Статика твердого тела

2.2.1. Эквивалентные друг другу системы сил

2.2.2. Векторные уравнения равновесия твердого тела

Если твердое тело покоится в течение некоторого промежутка времени, то меры механического движения его сохраняют в этом промежутке постоянные значения, равные нулю. Тогда из теорем динамики получаем необходимые условия равновесия твердого тела, накладываемые на приложенные к нему силы (уравнения равновесия системы сил):

2.2.3. Классификация систем сил, действующих на твердое тело, по взаимному расположению линий их действия:

А) пространственные и плоские системы сил,

Б) сходящиеся системы сил (линии действия всех сил пересекаются в одной точке); системы параллельных сил (линии действия всех сил параллельны друг другу); произвольные системы сил.

Например: «пространственная система параллельных сил».

2.2.4. У равнения равновесия твердого тела (уравнения равновесия системы сил) в проекциях на оси декартовой системы координат

Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил

; ; ;

; ; .

Возможна краткая форма записи: и т.д.

Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил

; ; .

В уравнении моментов для плоской системы сил индекс «z» по умолчанию опускают. Знаки моментов определяют по правилу

часовой стрелки: если сила «стремится» повернуть плоскую фигуру вокруг данного полюса против часовой стрелки, то момент считают положительным, иначе – отрицательным. Если полюс лежит на линии действия силы, то момент равен нулю.

Можно составить уравнения равновесия плоской системы сил иначе:

- два уравнения моментов относительно разных полюсов и одно уравнение проекций сил на ось, не перпендикулярную прямой, содержащей полюсы;

- три уравнения моментов относительно трех разных полюсов, не лежащих на одной прямой.

2.2.5. Пара сил – система двух сил, равных по величине, направленных в противоположные стороны и имеющих не совпадающие линии действия. Главный вектор такой системы двух сил равен нулю, а главный момент относительно любого полюса есть один и тот же вектор , называемый моментом пары. Пусть ; тогда величина момента пары равна . Здесь – расстояние между линиями действия сил пары, называемое плечом пары (рис. 12).

Действие на твердое тело пары сил характеризуется действием на него силового момента . Силы, образующие пары, могут иметь те или иные величины, точки приложения и линии действия. Но если моменты этих пар одинаковы по величине и направлению, то такие пары эквивалентны друг другу. Момент пары сил – свободный вектор. Действие пары на тело часто изображают на рисунках ломаной линией

со стрелками или круговой стрелкой.

Рис. 12. Пара сил

2.2.6. Равнодействующая системы сил - это одна сила, эквивалентная данной системе сил. Если главный момент системы относительно полюса оказался равен нулю, а главный вектор – нет, то говорят, что система сил приведена к равнодействующей. Так что если система сил имеет равнодействующую, то эта равнодействующая равна главному вектору системы.

2.2.7. Приведение системы сил к полюсу. Инварианты статики твердого тела

Систему сил, приложенных к твердому телу, можно интерпретировать как совокупность приложенной в полюсе силы, равной главному вектору , и пары, момент которой равен главному моменту . В этом смысле система сил считается приведенной к полюсу . Главный вектор не зависит от полюса приведения, а главный момент при переходе от полюса к полюсу изменяется согласно формуле

,

где - главный вектор, приложенный в полюсе .

При перемене полюса приведения сохраняет значение проекция главного момента на направление главного вектора. Величины и называются инвариантами статики твердого тела.

Систему сил можно привести в общем случае к динаме; в частных случаях - к равнодействующей или к паре. Динама – это совокупность главного вектора и главного момента, в случае, когда они направлены вдоль одной прямой. Эта прямая называется осью динамы или центральной винтовой осью.

В случае равновесия системы сил главный вектор и главный момент относительно любого полюса равны нулю.

2.2.8. Центр тяжести тела - такая точка выпуклого замыкания тела, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести при любом положении тела в пространстве. Если

заданы веса фрагментов тела и координаты центров тяжести этих фрагментов, то координаты общего центра тяжести вычисляются по формулам:

, , ,

где - общий вес тела. Радиус-вектор центра масс определяется формулой . Множители в общем смысле называют весовыми коэффициентами. Выражения называют нормированными весовыми коэффициентами, т.к. их сумма ра

1234Следующая ⇒

Поделиться:

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману