Сложение векторов и умножение вектора на число

↑

▷ Содержание

Стр 1 из 2Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Приложения

Аналитическая геометрия. Геометрические векторы

(Примерное содержание одной из глав будущего учебного пособия)

Основные понятия

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому.

Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается . Векторы обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками:

Таким образом, два направленных отрезка , имеющие одинаковые длины и направления, изображают один и тот же вектор , и именно в этом смысле мы будем писать равенства между векторами и направленными отрезками:

Всегда выражение «вектор AB » означает вектор, изображаемый направленным отрезком AB.

Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между точками A и B. Будем считать, что единица измерения длин выбрана и, говоря о длинах отрезков, не будем указывать, какой единицей они измеряются. Модуль вектора AB обозначается символом . Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается символом ,

Вектор , равный по длине вектору и противоположно направленный, называется противоположным и обозначается − .

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора AB, называется ортом вектора AB и обозначается .

Углом между векторами и называется угол (0 ≤ ≤ π), образованный этими векторами, при условии, что начальные точки этих векторов совпадают (этого можно добиться параллельным переносом векторов).

Векторы, лежащие на параллельных или совпадающих прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в параллельных или совпадающих плоскостях, называются компланарными. Если угол между векторами равен , то векторы называются ортогональными.

Сложение векторов и умножение вектора на число

Суммой векторов называется вектор с началом в точке A и концом в точке C (правило треугольника).

Произведением вектора и действительного числа называется вектор , модуль, которого равен , направление совпадает с направлением вектора при и противоположно направлению вектора при (рис.2). При произведение

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями.

Свойства линейных операций с векторами

Для любых векторов и любых чисел α, β:

Условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. существует число () такое, что .

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое и равное произведению их модулей и косинуса угла между ними, т.е.

Свойства векторного произведения векторов

Для любых векторов и любых чисел α, β:

, т.е. векторное произведение антикоммутативно;

1. , т.е. векторное произведение дистрибутивно относительно сложения;

2. , т.е. векторное произведение ассоциативно относительно вещественного множителя.

Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е.

|| , если

(нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору).

Смешаное произведение векторов

Смешанным произведением векторов называется число, обозначаемое () и определяемое равенством

,

т.е. векторное произведение двух векторов умножается скалярно на третий вектор .

По определению скалярного и векторного произведений имеем

() = ( = = ,

причем знак (+) берется в том случае, когда угол θ острый, т.е. тройка векторов — правая, знак (−) берется в том случае, когда угол θ тупой, т.е. тройка векторов — левая (здесь — угол между векторами , а — угол между векторами () и ).

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, взятому со знаком (+), если тройка векторов — правая, и со знаком (−), если тройка векторов — левая.

Контрольная работа

Класс «Аналитическая геометрия».

Угол прямой с плоскостью.

(Из примерного содержания методического пособия для учителя)

1. В основании прямого параллелепипеда АВСДА₁ В₁ С₁ Д₁ лежит параллелограмм с углом при вершине А равным 60⁰. Отношение ребер АВ: АД: АА = 1: 2: 3. Найдем угол между прямой В₁ Д и плоскостью грани АА₁ Д Д₁.

2. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом С. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 45⁰. На ребре SB взята точка М – середина этого ребра. Найдем угол между прямой АМ и плоскостью грани SBC.

3. В правильной призме АВСА₁ В₁ С₁ угол между прямыми АВ и АС равен 2а. Найдем угол между прямой ВС и плоскостью грани АСС₁ А.

4. В основании прямой призмы АВСА₁ В₁ С₁ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Высота призмы равна катету основания. На ребрах АВ, СС, АС взяты соответственно точки Р, Q, R – середины этих ребер. Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через вершину С, параллельно прямой РQ и В R и найдем угол, который образует с секущей плоскостью прямая СВ.

5. На ребрах А В и ДД куба АВСД А₁ В₁ С₁ Д₁ взяты соответственно точки P и Q – середины этих ребер. Найдем угол, который образует прямая В₁ Д с секущей плоскостью а, проходящей через вершину С, перпендикулярно прямой PQ. Построим сечение куба плоскостью а и найдем точку пересечения прямой PQ с плоскостью а.

Контрольная работа

Контрольная работа

Класс

I вариант.

1. На ребрах A₁B₁ и BC куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки P и Q – середины этих ребер. Считая ребро куба равным a, найдите расстояния до прямой PQ от следующих точек: C₁; б) D₁; в) D.

2. На ребре C₁D₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка P – середина этого ребра. Считая ребро куба равным a, найдите расстояния до плоскости BDP от следующих точек: A₁; б) A; в) C₁.

3. На ребрах AB, CC₁ и С₁D₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки P, Q и R – середины этих ребер. Считая ребро куба равным а, найдите расстояния между прямой B₁D₁ и следующими прямыми: DP; б) DQ; в) DR.

4. В правильной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ угол между прямыми BD₁ и B₁D равен 90^о. Найдите углы, которые образует прямая B₁D со следующими прямыми: AA₁; б) A₁C; в) CD₁.

5. На ребре СС₁ правильной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания, взяты точки Е₁, Е₂ и Е₃ – такие, что СЕ₁=Е₁Е₂=Е₂Е₃=Е₃С₁, а на ребре CD взята точка К – середина этого ребра. Найдите углы, которые образуют с плоскостью АА₁К следующие прямые: DE₁; б) DE₂; в) DE₃.

6. Основанием пирамиды MABCD является прямоугольник, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания и АВ: AD: МВ=1:2:1. На ребрах АD и АВ взяты соответственно точки K и L – середины этих ребер. Найдите следующие двугранные углы: а) MCLB; б) MACB; в)MCKB.

Список литературы для учащихся

1. Александров А.Д. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1992.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1993.

3. Бевз Г.П. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1994.

4. Жафяров А.Ж. Аналитическая геометрия. - Новосибирск, 1993.

5. Звавич Л.И. и др. Геометрия. 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: «Дрофа», 2000

6. Земляков А.Н. Геометрия в 9 классе. - М.: «Просвещение», 1988.

7. Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии 10 класс». - М.:

«Просвещение», 2000.

8. Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии 11 класс». - М.:

«Просвещение», 2000.

9. Зив Б.Г. «Задачи по геометрии 7-11 класс». - М.: «Просвещение», 2000.

10. Клетеник Д.В. Сборник задач по Аналитической геометрии. - М.: «Наука», 1986.

11. Марков Л.Н. и др. Основы Аналитической геометрии. - Минск: «Амалфея», 1999.

12. Погорелов. Геометрия 10 -11 класс. - М.: «Просвещение», 1992.

13. Погорелов А.В., Основания А.В. Геометрии. - М.: «Наука», 1977.

14. Энциклопедия для детей «Аванта+». Том 11. Математика. - М.: «Аванта», 1998.

Список литературы для учителя

1. Александров А.Д. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1992.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1993.

3. Бевз Г.П. и др. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1994.

4. Жафяров А.Ж. Аналитическая геометрия. - Новосибирск, 1993.

5. Звавич Л.И. и др. Геометрия. 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: «Дрофа», 2000.

6. Земляков А.Н. Геометрия в 9 классе. - М.: «Просвещение», 1988.

7. Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии 10 класс». - М.: «Просвещение», 2000.

8. Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии 11 класс». - М.: «Просвещение», 2000.

9. Зив Б.Г. «Задачи по геометрии 7-11 класс». - М.: «Просвещение», 2000.

10. Клетеник Д.В. Сборник задач по Аналитической геометрии. - М.: «Наука», 1986.

11. Марков Л.Н. и др. Основы Аналитической геометрии. – Минск:

«Амалфея», 1999.

12. Погорелов А.В. Геометрия 10-11 класс. - М.: «Просвещение», 1992.

13. Погорелов А.В. Основания геометрии. - М.: «Наука», 1977.

14. Поповский и др. «Улубленное изучение геометрии в 10-11 классе. - М.: «Просвещение», 2002.

15. Энциклопедия для детей «Аванта+». Том 11. Математика. М. «Аванта». 1998

16. Вебер Н.П. Информационная компетенция. – «Гимназия № 1 г. Нерюнгри», 2004.

17. Вебер Н.П. Учебно-воспитательная компетенция. - «Гимназия № 1 г. Нерюнгри», 2004.

18. Сизонова В.Г., Фатькина Н.Н. Коммуникативная компетенция. – «Гимназия № 1 г. Нерюнгри», 2004.

Приложения

Аналитическая геометрия. Геометрические векторы

(Примерное содержание одной из глав будущего учебного пособия)

Основные понятия

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому.

Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается . Векторы обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками:

Таким образом, два направленных отрезка , имеющие одинаковые длины и направления, изображают один и тот же вектор , и именно в этом смысле мы будем писать равенства между векторами и направленными отрезками:

Всегда выражение «вектор AB » означает вектор, изображаемый направленным отрезком AB.

Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между точками A и B. Будем считать, что единица измерения длин выбрана и, говоря о длинах отрезков, не будем указывать, какой единицей они измеряются. Модуль вектора AB обозначается символом . Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается символом ,

Вектор , равный по длине вектору и противоположно направленный, называется противоположным и обозначается − .

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора AB, называется ортом вектора AB и обозначается .

Углом между векторами и называется угол (0 ≤ ≤ π), образованный этими векторами, при условии, что начальные точки этих векторов совпадают (этого можно добиться параллельным переносом векторов).

Векторы, лежащие на параллельных или совпадающих прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в параллельных или совпадающих плоскостях, называются компланарными. Если угол между векторами равен , то векторы называются ортогональными.

Сложение векторов и умножение вектора на число

Суммой векторов называется вектор с началом в точке A и концом в точке C (правило треугольника).

Произведением вектора и действительного числа называется вектор , модуль, которого равен , направление совпадает с направлением вектора при и противоположно направлению вектора при (рис.2). При произведение

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры