Застосування визначеного інтеграла

Формула Ньютона-Лейбніца

Для пошуку способу обчислення визначеного інтеграла встановимо зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралами. Для цього розглянемо , де функція є неперервною на та інтегровною на ньому, - довільна фіксовна точка відрізка .

Цей інтеграл називають визначеним інтегралом із змінною верхньою межею. Очевидно, він є функцією від , тому позначимо його через .

Має місце наступна теорема Барроу:

Якщо функція - неперервна на , то функція - диференційовна на цьому відрізку, причому для усіх .

Тобто для всякої неперервної на функції завжди існує первісна, та однією з цих первісних є визначений інтеграл із змінною верхнею межею. Таким чином, встановлений зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралами.

Ефективний і простий спосіб обчислення визначеного інтеграла дається формулою Ньютона-Лейбніца:

,

де - неперервна на , - яка-небудь її первісна.

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Первісною від даної підінтегральної функції є . Обчислимо її значення при верхній границі , при нижній границі . За формулою Ньютона-Лейбніца значення інтегралу становить .

Розв’язування може бути подане у вигляді:

.

2. .

3.

.

4.

.

5.

.

6. .

Первісну можна знайти, використавши формулу пониження степеня: . Отримаємо:

.

7. .

Для знаходження первісної в знаменнику виділимо повний квадрат.

.

8. .

Знайдемо первісну функції. Для цього правильний дріб представимо у вигляді суми найпростіших дробів, а саме

.

Звільнившись від знаменника, маємо:

.

Отже, .

Тоді

.

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Зробимо заміну . Тоді , .

Визначимо нові межі інтегрування. Якщо , то , при .

Отримаємо:

.

2. .

Використаємо властивість 4 і змінюємо межі інтегрування:

.

3. .

4. .

5. =

.

6.

.

7. .

Оскільки підінтегральна функція є раціональною відносно , зробимо заміну .

Тоді =

= .

8. .

Перетворимо вираз : .

Інтеграл набуває вигляду:

.

.

9. .

Підінтегральний вираз містить . Зробимо заміну , . Тоді . Щоб знайти нові межі інтегрування, виразимо через : .

Отже, при ,

при .

Будемо мати: .

Щоб проінтегрувати парну степінь , скористуємось двічі формулою пониження степеня:

.

Тобто

.

10. .

Застосуємо для інтегрування тригонометричну підстановку . Тоді , .

Межі інтегрування: , тому при ,

при .

Отже,

.

Отриманий інтеграл не є табличним. Для його обчислення необхідно скористатися ще однією заміною.

Позначимо , звідки , .

При , при .

Тоді

.

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Покладемо , ; тоді , . Отримаємо:

.

2.

.

3.

.

4.

.

5. .

Для обчислення отриманого інтегралу використаємо метод інтегрування частинами ще раз.

.

Після двократного інтегрування частинами ми прийшли до вихідного інтегралу. Позначимо . Тоді

, звідки , .

Таким чином отримали:

.

6. .

Перший доданок можна обчислювати, а до другого знову застосуємо метод інтегрування частинами:

.

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Розділ 2

НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

Зразки розв’язування задач

Зразки розв’язування задач

Розділ 3

ДО ЗАДАЧ ГЕОМЕТРІЇ

Зразки розв’язування задач

Розв’язання

Побудуємо дані лінії і визначимо фігуру, площу якої треба знайти.

Площа визначається за формулою (3.1):

x = 0

кв. од.

2. .

Розв’язання

Зобразимо фігуру, площу якої шукаємо.

Тоді

кв. од.

3. .

Розв’язання

Фігура обмежена параболою і прямою .

Щоб визначити межі інтегрування, знайдемо абсциси точок перетину ліній та :

, звідки .

Як бачимо, фігура симетрична відносно осі , тому обчислимо площу її правої половини, а загальний результат подвоємо.

Будемо мати: кв. од.

4. .

Розв’язання

Побудуємо дані лінії.

Фігура на відрізку обмежена зверху , знизу прямою . Її площу знайдемо за формулою (3.3):

кв. од.

5. .

Розв’язання

Побудуємо параболу . Приведемо рівняння до канонічного виду, виділивши повний квадрат:

.

Отже, парабола має вершину в точці і перетинає вісь в точках .

На відрізку функція має від’ємні значення. За формулою (3.2) шукана площа дорівнює:

кв. од.

6. .

Канонічний вид параболи :

тоді .

Парабола симетрична відносно прямої , має вершину .

Точки перетину з віссю :

, тоді

, звідки

, .

За формулою (3.4) знайдемо площу:

кв. од.

7. .

Розв’язання

Побудуємо дані гіперболу та пряму. Для знаходження абсцис точок перетину графіків розв’яжемо систему рівнянь:

, тоді , , , звідки .

Отже,

кв. од.

8. .

Розв’язання

Побудуємо дані лінії.

Точки перетину графіків:

, тоді , , звідки .

Як бачимо, фігура розташована у I чверті, тому оберемо . На відрізку фігура зверху обмежена спочатку графіком функції (якщо ), а потім графіком (якщо ). Тому площу всієї фігури знайдемо як суму двох площ, кожну з яких обчислимо за формулою (3.1).

А саме: ,

де кв. од., кв. од.

Отримаємо: кв. од.

Перейдемо до розглядання прикладів обчислення площ у параметричній системі координат для циклоїди та кардіоїди. Обидві ці криві мають механічне походження та описуються точкою кола радіуса , що котиться без ковзання по деякій лінії. Для циклоїди цією лінією буде пряма, а для кардіоїди – знов коло радіуса , що має із першим колом зовнішній дотик.

9. Знайти площу фігури обмеженої віссю та однією аркою циклоїди

.

Розв’язання

Поглянемо на вигляд цієї кривої.

Параметр буде змінюватися від до . Використавши формулу (3.5), маємо:

кв. од.

Таким чином, площа однієї арки циклоїди втричі більше площі кола, що котиться.

10. Знайти площу, обмежену кардіоїдою ,

.

Розв’язання

Наведемо вигляд цієї кривої.

Крива симетрична відносно осі . Обчислимо половину площі і подвоємо результат. Точкам та відповідають значення параметрів .

Для обчислення площі використаємо формулу (3.6).

Обчислимо : .

Тоді

.

Отримаємо: кв. од.

Тепер ознайомимося із цікавими кривими у полярній системі координат.

11. Обчислити площу, обмежену лемніскатою Бернуллі .

Розв’язання

Зауваження. Зазначимо, що криві задані рівняннями (або ), де та - постійні величини, називаються розами. Якщо - парне число, то крива має - пелюсток, якщо - непарне число, то крива має - пелюсток.

Щоб знайти площу однієї пелюстки, визначимо, як змінюється полярний кут , коли радіус-вектор описує цю площу.

Нехай . Тоді , звідки .

При