Частные производные высших порядков

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 13Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

Пусть дана функция двух переменных z=f(x,y). Ее частные производные и , вообще говоря, являются функциями двух переменных х и у. Поэтому эти функции можно снова дифференцировать по х и у. Таких частных производных второго порядка всего четыре, т.к. каждую из производных и можно дифференцировать как по х, так и по у.

Эти производные обозначаются так:

– дифференцируем два раза подряд по х;

– сначала дифференцируем по х, затем по у;

– сначала дифференцируем по у, затем по х;

– два раза дифференцируем по у.

Можно продолжать этот процесс, дифференцируя вторые производные по х или у и получая третьи производные и т.д.

– частная производная n -го порядка, дифференцирование ведется сначала р раз по х, затем n–p раз по у.

Аналогично определяются производные любого порядка от функции любого числа переменных.

Пример. Вычислить производные 2-го порядка функции f(x,y)=х²у+у³.

В данном примере оказалось, что , т.е. смешанная производная по х и у оказалась не зависящей от порядка дифференцирования. Оказывается, что это совсем не случайно.

Теорема (без доказательства).

Если функция f(x,y) и ее частные производные до второго порядка включительно определены и непрерывны в окрестности точки (х,у), то в этой окрестности

.

Из этой теоремы следует, что смешанные частные производные второго порядка не зависят от порядка дифференцирования. Это свойство дифференцируемых функций следует иметь в виду при выполнении практических расчетов.

Производная по направлению

Пусть в пространственной области задана функция трех переменных . Выберем в этой области две точки: и (знаки приращений и могут быть произвольными) и проведем вектор (см. рис.).

Этот вектор является диагональю параллелепипеда со сторонами . Очевидно, его длина равна

.

Будем считать, что функция дифференцируема и запишем полное приращение при переходе от точки к точке в виде

, (3.10.1)

где и стремятся к нулю, если . Разделим все члены в (3.10.1) на :

.

Градиент

Пусть в некоторой области задана функция . Введем вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных :

.

Этот вектор называется градиентом функции . Говорят также, что в области определено векторное поле градиентов (в каждой точке имеется свой вектор градиента). Сами же значения называют скалярным полем (т.к. значения – скаляры, т.е. числа).

Теорема.

Пусть дано скалярное поле и в этом скалярном поле определено поле градиентов

.

Тогда производная по направлению вектора равна проекции вектора на вектор :

пр . (3.11.1)

Геометрически формулу (3.11.1) можно трактовать с помощью следующего рисунка

Здесь – угол между векторами и . Таким образом

. (3.11.2)

Из определения градиента и формул (3.11.1) (3.11.2) следуют свойства градиента:

1) Производная в данной точке по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента ( на приведенном выше рисунке); это наибольшее значение производной равно . Другими словами, скалярное поле максимально изменяется в направлении градиента.

2) Производная по направлению, перпендикулярном градиенту, равна нулю: в этом случае . Таким образом, в направлении, перпендикулярном градиенту, функция не изменяется (мы находимся на поверхности заданного уровня ).

Пример 1.

Найти градиент функции в точке .

Для функции двух переменных градиент, очевидно, находится в виде:

.

В нашем случае

.

Тогда .

Пример 2.

Для функции найти величину и направление в точке .

,

поэтому .

Очевидно, , а направляющие косинусы вектора равны:

.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология