Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 15Следующая ⇒

▷ Похожие статьи

(уравнения Эйлера)

Формально общие уравнения движения идеальной жидкости можно получить из уравнений, составленных для покоящейся жидкости, если воспользоваться принципом Д. Аламбера, согласно которому к уже действующим силам добавляются силы инерции.

Обозначим силу инерции, отнесенную к единице массы движущейся идеальной жидкости 1 . Тогда проекции этой силы на координатные оси будут равны: -1 ; -1 и -1 . Знак минус в данном случае указывает на то, что единичная сила инерции имеет направление противоположное ускорению.

С учетом сказанного дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости получает вид:

(56)

Для случая неустановившегося движения, когда полный дифференциал скорости, например , равен

,

тогда

.

С учетом аналогичных выражений, полученных для и , дифференциальные уравнения неустановившегося движения идеальной жидкости получают следующий вид:

(57)

Для установившегося движения идеальной жидкости, когда , дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости имеют вид

(58)

Системы дифференциальных уравнений (57) и (58) называются системами дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости, представленными в развернутом виде.

Уравнения (56) – (58) применимы как для случаев движения капельных жидкостей (когда ), так и для движения газов (когда ).

Дифференциальные уравнения неразрывности

Движущейся жидкости

В системе из трех дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости (56) содержится четыре неизвестных параметра движения ; ; ; . Для того, чтобы определить эти параметры, необходимо четвертое уравнение. Таким уравнением является дифференциальное уравнение неразрывности.

Выделим в движущейся идеальной жидкости параллелепипед (рис. 21) со сторонами ; ; , представляющий собой неподвижную часть пространства, заполненного движущейся жидкостью. Будем считать, что движение жидкости происходит без образования пустот и переуплотнений, т.е. с постоянной плотностью.

В точке А в момент времени скорость движения будет , а ее проекции на координатные оси - .

Рис. 21.

Так как скорости движения частиц изменяются с изменением их положения в пространстве, то в тот же момент времени скорость в точке В , отстоящей от точки А на расстоянии будет равна . Частная производная в градиенте давления принята потому, что при переходе частицы из точки А в точку В меняется только координата .

Таким образом, за время через грань АСДЕ параллелепипеда будет втекать жидкость массой

а через грань ВС ₁ Д ₁ Е ₁ вытекать

.

Следовательно, за время изменение массы жидкости в параллелепипеде в результате движения через грани, нормальные к оси будет равно

.

Изменения массы жидкости через грани нормальные к осям и соответственно будут равны

;

.

Так как форма параллелепипеда остается неизменной, а движение жидкости происходит без образования пустот и переуплотнений, общая сумма изменений массы внутри параллелепипеда будет равна нулю, т.е.

или после сокращения:

(59)

Физический смысл уравнения (59) состоит в том, что сумма изменений проекций скоростей в направлении соответствующих координатных осей равна нулю. Это значит, что объем несжимаемой жидкости, которая втекает в параллелепипед, равна объему жидкости, вытекающему из него.

Уравнение неразрывности

Из уравнения постоянства расхода

(для потока), (60)

получается другое важное уравнение движения жидкости.

Так как расход записывается в виде

,

то уравнение постоянства расхода можно записать в следующем виде:

(для потока), (61)

которое и называется уравнением неразрывности потока жидкости (рис. 22), а для элементарной струйки

Рис. 22. Схема к уравнению неразрывности потока

Из уравнения неразрывности потока следует, что при установившемся движении несжимаемой жидкости произведение средней скорости на площадь живого сечения потока является величиной постоянной.

Из уравнения (61) можно также получить

, (62)

т.е., в установившемся потоке жидкости средние скорости движения обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений.

Лекция 5.

Познавательные статьи:



Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология